[论文解读] Ageing in the parabolic Anderson model

Peter Mörters, Marcel Ortgiese+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文在 ℤ^d 上的抛物安德森模型中建立了重尾独立同分布势场下的老化现象，表明解的轮廓在越来越长的时间区间内几乎保持不变。论文证明了弱老化和强老化极限，给出了峰值位置与增长率的功能极限定理，并通过积分判别法确定了解轮廓发生改变前的几乎必然上界等待时间。

ABSTRACT

The parabolic Anderson model is the Cauchy problem for the heat equation with a random potential. We consider this model in a setting which is continuous in time and discrete in space, and focus on time-constant, independent and identically distributed potentials with polynomial tails at infinity. We are concerned with the long-term temporal dynamics of this system. Our main result is that the periods, in which the profile of the solutions remains nearly constant, are increasing linearly over time, a phenomenon known as ageing. We describe this phenomenon in the weak sense, by looking at the asymptotic probability of a change in a given time window, and in the strong sense, by identifying the almost sure upper envelope for the process of the time remaining until the next change of profile. We also prove functional scaling limit theorems for profile and growth rate of the solution of the parabolic Anderson model.

研究动机与目标

• 分析具有时间恒定、独立同分布重尾势场的抛物安德森模型的长期时间动力学。
• 在解轮廓在长时间内几乎保持不变的定义下，建立系统中老化现象的存在性。
• 通过直到下一次轮廓改变的等待时间，从弱和几乎必然两个角度刻画老化现象。
• 推导解的峰值位置与增长率的功能极限定理。

提出的方法

• 使用具有重尾指数 α > d 的帕累托分布的随机势场 ξ(z) 的抛物安德森方程。
• 分析解轮廓 v(t,z) = u(t,z)/U(t)，其中 U(t) 为总质量，关注其时间稳定性。
• 应用极值理论与点过程收敛性，研究解峰值的位置及其增长率。
• 通过 λ(t) 的时间重标度技术，在函数极限设定下分析该过程。
• 使用积分判别法刻画直到下一次轮廓改变的剩余寿命的几乎必然上界。
• 应用弱收敛技术与拉普拉斯泛函收敛性，证明函数尺度极限定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有独立同分布重尾势场的抛物安德森模型是否表现出老化现象，即轮廓稳定性时间间隔逐渐增加？
• RQ2 解轮廓在时间窗 [t, t + θt] 内保持在当前状态 ε 范围内的渐近概率是多少？
• RQ3 直到下一次轮廓改变的等待时间的几乎必然上界是什么？其特征如何？
• RQ4 支配解的峰值位置与增长率演化的函数尺度极限是什么？
• RQ5 当时间趋于无穷时，解的轮廓与增长率在适当归一化下如何表现？

主要发现

• 解轮廓在时间窗 [t, t + θt] 内保持在当前状态 ε 范围内的概率收敛于一个常数 I(θ) ∈ (0,1)，在直线时间尺度上确认了弱老化现象。
• 直到下一次轮廓改变的等待时间的几乎必然上界由涉及尾指数 α 与维度 d 的积分判别法刻画。
• 在适当缩放下，解峰值的位置弱收敛于一个包含稳定子调和过程与布朗运动分量的极限过程。
• 在通过 a_T 归一化后，解的增长率弱收敛于一个包含峰值位置与确定性漂移项的函数极限。
• 峰值位置与增长率的联合过程满足函数尺度极限定理，其极限过程包含一个稳定过程与一个确定性修正项。
• 通过拉普拉斯泛函收敛性建立了轮廓收敛性，表明重标度后的轮廓依分布收敛于依赖于极限峰值过程的极限随机变量。