[论文解读] Aggregation functions for decision making

Jean‐Luc Marichal|ArXiv.org|Jan 27, 2009

Multi-Criteria Decision Making参考文献 91被引用 8

一句话总结

本文提出了一套公理化框架，用于在决策过程中选择和表征聚合函数，重点关注其在不同测量尺度下的性质。它识别出格多项式及其变换是序尺度下有意义的、非递减的或连续的函数的核心家族，其中对称格多项式等价于中位数等顺序统计量。

ABSTRACT

Aggregation functions are generally defined and used to combine several numerical values into a single one, so that the final result of the aggregation takes into account all the individual values in a given manner. Such functions are widely used in many well-known disciplines such as statistics, economics, finance, and computer science. In this paper we confine ourselves to the use of aggregation functions in decision making.

研究动机与目标

• 为决策情境中使用的聚合函数提供系统化的公理化分类。
• 识别在特定测量尺度（尤其是序尺度、区间尺度和比例尺度）下哪些聚合函数是有意义的。
• 表征保持输入和输出序结构的非递减或连续聚合函数。
• 阐明格多项式及其变换在序尺度下建模有意义聚合中的作用。
• 确立聚合函数退化为顺序统计量或其变换（尤其是对称性和幂等性条件下）的条件。

提出的方法

• 采用公理化方法，基于连续性、对称性、单调性和尺度不变性等性质对聚合函数进行分类。
• 应用有意义性的概念，确保函数行为在尺度的允许变换下保持不变。
• 使用格多项式（由变量的最小值和最大值运算构成的表达式）来表征函数。
• 引入模糊测度（γ ∈ Γ_N）以在析取范式中表示格多项式的结构。
• 分析从 ℝ → ℝ 的变换 g 对格多项式的影响，以推广有意义函数的类别。
• 应用 Choquet 积分和 Sugeno 积分的结果，统一并扩展非加性测度下的经典聚合模式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入和输出均以相同序尺度测量时，哪些聚合函数是有意义的？
• RQ2 如何在序测量尺度下完全表征非递减或连续的聚合函数？
• RQ3 格多项式在表示对序变换保持不变的聚合函数中起什么作用？
• RQ4 在何种条件下，聚合函数会退化为顺序统计量（如中位数）或其变换？
• RQ5 对称性和幂等性在序尺度上如何约束有意义聚合函数的类别？

主要发现

• 对于相同输入-输出序尺度，非递减且有意义的聚合函数恰好是某个 γ ∈ Γ_N 对应的格多项式 L_γ。
• 对于相同输入-输出序尺度，连续且有意义的聚合函数恰好是格多项式 L_γ。
• 通过常数函数或严格单调函数 g 变换后的非递减且有意义的函数，其形式为 A = g ∘ L_γ。
• 在序尺度下，连续且有意义的函数恰好是形式为 A = g ∘ L_γ 的函数，其中 g 连续且严格单调。
• 在序尺度上，对称、非递减且有意义的函数等价于 g ∘ OS_k 的形式，其中 k ∈ N 且 g 为常数或严格递增函数。
• 在序尺度上，对称、连续且有意义的函数恰好是形式为 g ∘ OS_k 的函数，其中 g 连续且严格单调。