[论文解读] Aggregation of Risks and Asymptotic independence

Abhimanyu Mitra, Sidney I. Resnick|ArXiv.org|Jul 25, 2008

Probability and Risk Models参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文建立了在何种充分条件下，位于广义极值分布域（Gumbel domain of attraction）中的渐近独立风险之和的尾部概率，其渐近行为类似于单个风险尾部的常数倍。研究将结果扩展至非同分布及轻尾边缘分布的情形，提供了包括亚指数与非亚指数情形在内的多个例子，并将结论应用于通过正系数线性组合的风险进行近似投资组合优化。

ABSTRACT

We study the tail behavior of the distribution of the sum of asymptotically independent risks whose marginal distributions belong to the maximal domain of attraction of the Gumbel distribution. We impose conditions on the distribution of the risks $(X,Y)$ such that $P(X + Y > x) \sim (const)P (X > x)$. With the further assumption of non-negativity of the risks, the result is extended to more than two risks. We note a sufficient condition for a distribution to belong to both the maximal domain of attraction of the Gumbel distribution and the subexponential class. We provide examples of distributions which satisfy our assumptions. The examples include cases where the marginal distributions of $X$ and $Y$ are subexponential and also cases where they are not. In addition, the asymptotic behavior of linear combinations of such risks with positive coefficients is explored leading to an approximate solution of an optimization problem which is applied to portfolio design.

研究动机与目标

• 分析位于广义极值分布域（Gumbel distribution）最大吸引域中的两个或多个渐近独立风险之和的渐近尾部行为。
• 将现有风险聚合结果从独立性推广至渐近独立情形，特别是当边缘分布不一定是亚指数分布时。
• 提供充分条件，使得和 $X+Y$ 的尾部渐近等价于 $ (1+c)P(X>x) $，其中 $ c = \lim_{x\to\infty} P(Y>x)/P(X>x) $。
• 探讨具有正系数的此类风险的线性组合的渐近行为，并将结果应用于近似投资组合设计优化。
• 通过数值实验评估尾部概率超限近似值的准确性，并将其与优化中近似解的质量相关联。

提出的方法

• 推导出随机向量 $(X,Y)$ 联合分布的充分条件，使得 $ \lim_{x\to\infty} \frac{P(X+Y>x)}{P(X>x)} = 1 + c $，其中 $ c = \lim_{x\to\infty} \frac{P(Y>x)}{P(X>x)} $。
• 对联合分布的归一化尾部行为施加正则变体和收敛性条件，确保其收敛至广义极值分布类型的乘积形式。
• 利用广义极值分布最大吸引域（$MDA(\Lambda)$）的性质以及通过二元极值极限实现的渐近独立性概念。
• 将两风险情形的结果推广至 $n$-元和的情形，要求非负性及相同的尾部等价条件，保持和的渐近等价于边缘尾部的常数倍。
• 将渐近等价性应用于具有正系数的线性组合 $ \tilde{a}_1X + \tilde{a}_2Y $，推导投资组合优化问题的近似解。
• 采用蒙特卡洛模拟，使用 10,000 个样本估计超限概率，并在不同相关系数水平（$\rho = -0.9, 0, 0.9$）下评估近似解与真实最优解之间的相对误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，位于 $MDA(\Lambda)$ 中的两个渐近独立风险之和的尾部行为，会渐近等价于单个风险尾部的常数倍？
• RQ2 当边缘分布非同分布或其中一个具有轻尾且不在 $MDA(\Lambda)$ 中时，渐近尾部等价 $ P(X+Y>x) \sim (1+c)P(X>x) $ 是否仍可成立？
• RQ3 在实际应用中，特别是用于具有正系数线性组合的风险的投资组合优化时，渐近近似 $ P(X+Y>x) \approx (1+c)P(X>x) $ 的准确性如何？
• RQ4 渐近近似的准确性与投资组合设计问题中近似解性能之间的关系是什么？
• RQ5 是否存在 $MDA(\Lambda)$ 中具有渐近独立性的分布，使得极限 $ \lim_{x\to\infty} \frac{P(X+Y>x)}{P(X>x)} $ 存在且严格介于 2 和 $\infty$ 之间？

主要发现

• 对于位于 $MDA(\Lambda)$ 中的风险 $X,Y$，若 $ c = \lim_{x\to\infty} P(Y>x)/P(X>x) \in (0,\infty) $，本文证明了 $ \lim_{x\to\infty} \frac{P(X+Y>x)}{P(X>x)} = 1 + c $，其中 $c=1$ 的情形对应 $P(X+Y>x) \sim 2P(X>x)$。
• 即使其中一个边缘分布为轻尾且不在 $MDA(\Lambda)$ 中，只要极限 $c$ 存在且有限，该结果依然成立。
• 当 $X$ 和 $Y$ 非负且满足尾部等价条件时，该结果可推广至多于两个风险的和，保持渐近等价于 $ (1 + \sum c_i)P(X>x) $。
• 数值实验表明，当 $\rho = -0.9$ 和 $\rho = 0$ 时，对于阈值 $x \geq 5$，近似解与真实最优投资组合概率之间的相对误差低于 10%，表明近似精度良好。
• 当 $\rho = 0.9$ 时，相对误差增大（$x=20$ 时最高达 81%），但当两个权重均为正时，近似解仍与真实最优解处于同一数量级。
• 研究证实，当渐近近似准确时，对应的投资组合优化问题的近似解也准确，反之亦然。