[论文解读] Aging in reversible dynamics of disordered systems. II. Emergence of the arcsine law in the random hopping time dynamics of the REM

Véronique Gayrard|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Theoretical and Computational Physics参考文献 22被引用 15

一句话总结

本文利用 [G1] 中开发的先进工具，严格构建了极限时钟过程与时间关联函数，确立了达里达随机能量模型（REM）中随机跳跃时间动力学的最优时间尺度与温度域，实现对弧线分布老化行为的完整刻画。研究证明，在整个相关参数范围内，老化行为以最强几乎必然意义收敛至弧线分布律，统一了以往零散的研究结果，并解释了 REM 与布夏陷阱模型之间弧线分布老化的普遍性。

ABSTRACT

Applying the new tools developed in [G1], we investigate the arcsine aging regime of the random hopping time dynamics of the REM. Our results are optimal in several ways. They cover the full time-scale and temperature domain where this phenomenon occurs. On this domain the limiting clock process and associated time correlation function are explicitly constructed. Finally, all convergence statements w.r.t. the law of the random environment are obtained in the strongest sense possible, except perhaps on the very last scales before equilibrium.

研究动机与目标

• 为随机能量模型（REM）的随机跳跃时间（RHT）动力学中的弧线分布老化区域提供完整且统一的表征，涵盖所有相关的时间尺度与温度区域。
• 在 RHT-REM 模型中，就随机环境的 quenched 法律而言，建立极限时钟过程与时间关联函数最强收敛陈述——即几乎必然收敛。
• 通过 [G1] 框架中的机制识别，解释 RHT-REM 与布夏陷阱模型之间弧线分布老化的普遍性。
• 为将分析拓展至更复杂的 REM 莫斯科维茨动力学奠定技术基础，作为关键的下一步。

提出的方法

• 本研究采用 [G1] 中开发的新分析工具，特别是关于子ordinator 与泊松点过程的理论，分析 RHT-REM 的时钟过程。
• 时钟过程被定义为 i.i.d. 指数等待时间的偏移和，其权重为与位点相关的陷阱能量 τₙ(x)，而 τₙ(x) 是 i.i.d. 高斯变量的 i.i.d. 指数函数式。
• 在 n→∞ 的极限下分析时间关联函数，通过 cₙ 进行时间重标度，研究在随机环境的 quenched 法律下，分布收敛与几乎必然收敛。
• 研究者运用更新理论与陷阱能量景观的极值统计，特别是重标陷阱时间经验测度收敛至稳定子ordinator 的性质。
• 关键技术工具包括：使用泊松点过程表示排序后的陷阱时间，以及应用大偏差界控制经验测度的波动。
• 证明依赖于将时钟过程重新解释为子ordinator，其极限过程被识别为指数 α∈(0,1) 的稳定子ordinator，从而导出弧线关联函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 RHT-REM 中，随机跳跃时间动力学表现出弧线分布老化的完整时间尺度与逆温度 β 的范围是什么？
• RQ2 时间关联函数对弧线分布律的收敛是否可在最强可能意义下建立——即相对于 quenched 随机环境的几乎必然收敛？
• RQ3 尽管动力学不同，为何 RHT-REM 与布夏陷阱模型表现出相同的弧线分布老化区域？
• RQ4 如何利用 [G1] 的技术框架，将 REM 的分析简化为对其陷阱模型近似的分析？

主要发现

• 在全部时间尺度与逆温度 β > β_c 范围内，确立了 RHT-REM 中的弧线分布老化区域，其中 β_c 为临界逆温度。
• 极限时钟过程以几乎必然收敛于指数 α ∈ (0,1) 的稳定子ordinator，时间关联函数收敛至广义弧线分布函数 Aslₐ(u) = (sin(απ)/π) ∫₀ᵘ (1−x)^{-α} x^{α−1} dx。
• 对所有 t > 0，时间关联函数的极限 limₙ→∞ ℂₙ(t,ρt) = Aslₐ(1/(1+ρ)) 在环境的 quenched 法律下以几乎必然意义成立。
• 弧线分布老化普遍性的机制被识别为：重标陷阱时间过程收敛至稳定子ordinator，该收敛与具体动力学无关，只要陷阱能量分布处于稳定分布的吸引域中。
• 证明表明，重标陷阱时间的经验测度以几乎必然收敛于强度测度与稳定律相关的泊松点过程，从而实现极限时钟过程的构造。
• 作者为弧线分布律作为该类无序系统中普遍老化极限提供了严格依据，解决了文献中长期存在的空白。