[论文解读] AIR algebraic multigrid for a space-time hybridizable discontinuous Galerkin discretization of advection(-diffusion)

Abdullah A. Sivas, Ben S. Southworth+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 56被引用 13

一句话总结

本文提出将近似理想限制（AIR）代数多重网格法作为所有时间点同时求解的空间-时间混合间断伽辽金（HDG）格式在对流主导的对流-扩散问题中的预条件子。通过将时间依赖问题视为 (d+1) 维空间-时间中的稳态问题，AIR 实现了鲁棒且可扩展的收敛性，其网格粗化过程与双曲特征对齐。该方法在均匀和自适应空间-时间网格上均表现出快速且可扩展的收敛性，即使在时变域上也表现良好。

ABSTRACT

This paper investigates the efficiency, robustness, and scalability of approximate ideal restriction (AIR) algebraic multigrid as a preconditioner in the all-at-once solution of a space-time hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) discretization of advection-dominated flows. The motivation for this study is that the time-dependent advection-diffusion equation can be seen as a "steady" advection-diffusion problem in $(d+1)$-dimensions and AIR has been shown to be a robust solver for steady advection-dominated problems. Numerical examples demonstrate the effectiveness of AIR as a preconditioner for advection-diffusion problems on fixed and time-dependent domains, using both slab-by-slab and all-at-once space-time discretizations, and in the context of uniform and space-time adaptive mesh refinement. A closer look at the geometric coarsening structure that arises in AIR also explains why AIR can provide robust, scalable space-time convergence on advective and hyperbolic problems, while most multilevel parallel-in-time schemes struggle with such problems.

研究动机与目标

• 研究 AIR AMG 作为所有时间点同时求解的空间-时间 HDG 格式在对流-扩散问题中的鲁棒性和可扩展性。
• 解决利用并行时间求解器高效求解对流主导和双曲问题的挑战。
• 通过均匀和自适应网格加密，在固定域和时变域上展示 AIR AMG 的有效性。
• 通过其几何粗化结构解释为何 AIR 在双曲问题上优于传统多水平并行时间方法。

提出的方法

• 使用空间-时间 HDG 格式，将时间依赖的对流-扩散方程转化为 (d+1) 维空间-时间中的稳态问题。
• 对所有时间点同时求解所得到的大规模非对称线性系统应用 AIR 代数多重网格法。
• 在 AIR 中采用块结构矩阵处理方式，包括块逆缩放和块松弛，以保持 HDG 系统的固有结构。
• 利用在速度场无环路时，空间-时间 HDG 矩阵在拓扑排序下变为块下三角矩阵的特性，实现精确的过程内求解。
• 实现一种块隐式松弛策略，使每个处理单元沿特征线精确求逆，与粗网格对齐相辅相成。
• 使用 ZZ 误差估计器进行空间-时间自适应网格加密（AMR），生成能捕捉内部层的局部加密网格。

实验结果

研究问题

• RQ1 AIR AMG 能否作为所有时间点同时求解的空间-时间 HDG 格式在对流主导问题中的鲁棒且可扩展的预条件子？
• RQ2 为何 AIR AMG 在大多数并行时间方法失效的双曲问题上仍能实现可扩展收敛？
• RQ3 HDG 矩阵的块结构如何影响 AIR AMG 在不同松弛策略下的性能？
• RQ4 AIR AMG 是否能在时变域和空间-时间自适应网格加密下保持鲁棒收敛？
• RQ5 网格粗化与时空特征对齐在求解器有效性中起到何种作用？

主要发现

• AIR AMG 在所有问题规模下均实现可扩展收敛，仅需 10–15 次 BiCGSTAB 迭代，即使在超过 1000 万个自由度的最大问题上也表现良好。
• 采用块逆缩放后，迭代次数相比无缩放情况减少 3 倍以上，证明了保持矩阵块结构的重要性。
• 采用过程内求解松弛策略后，迭代次数相比前向高斯-赛德尔法减少一半，在 128 个核心上实现近乎完美的可扩展性。
• 对于速度场无环路的纯双曲问题，经缩放后矩阵变为下三角矩阵，可通过拓扑排序和高斯-赛德尔松弛实现精确求解。
• 该方法在时变域和空间-时间 AMR 下仍保持鲁棒收敛，其中网格运动和局部加密可自然处理。
• AIR AMG 的成功归因于其能够将网格粗化与时空特征对齐，而这一特性在经典的空间-时间分离多重网格方法中缺失。