[论文解读] Aitchison's Compositional Data Analysis 40 Years On: A Reappraisal

Michael Greenacre, Eric Grunsky+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2022

Geochemistry and Geologic Mapping被引用 11

一句话总结

本文在Aitchison的組成數據分析（CoDA）誕生40年後重新評估其理論基礎，主張精確的子組合一致性與等距性並非絕對必要，近似的一致性與近似等距性已足夠滿足實際應用需求。研究顯示，與複雜的等距對數比率方法相比，簡單的成對對數比率與Box-Cox冪變換在地球化學與基因組數據中表現相當，挑戰了「等距變換為有效CoDA所必需」的普遍假設。

ABSTRACT

The development of John Aitchison's approach to compositional data analysis is followed since his paper read to the Royal Statistical Society in 1982. Aitchison's logratio approach, which was proposed to solve the problematic aspects of working with data with a fixed sum constraint, is summarized and reappraised. It is maintained that the properties on which this approach was originally built, the main one being subcompositional coherence, are not required to be satisfied exactly -- quasi-coherence is sufficient, that is near enough to being coherent for all practical purposes. This opens up the field to using simpler data transformations, such as power transformations, that permit zero values in the data. The additional property of exact isometry, which was subsequently introduced and not in Aitchison's original conception, imposed the use of isometric logratio transformations, but these are complicated and problematic to interpret, involving ratios of geometric means. If this property is regarded as important in certain analytical contexts, for example unsupervised learning, it can be relaxed by showing that regular pairwise logratios, as well as the alternative quasi-coherent transformations, can also be quasi-isometric, meaning they are close enough to exact isometry for all practical purposes. It is concluded that the isometric and related logratio transformations such as pivot logratios are not a prerequisite for good practice, although many authors insist on their obligatory use. This conclusion is fully supported here by case studies in geochemistry and in genomics, where the good performance is demonstrated of pairwise logratios, as originally proposed by Aitchison, or Box-Cox power transforms of the original compositions where no zero replacements are necessary.

研究动机与目标

• 重新評估Aitchison組成數據分析（CoDA）在40年發展後的基礎原則。
• 質疑CoDA中精確子組合一致性與等距性的必要性，主張近似滿足（近似一致性與近似等距性）已足夠用於實際應用。
• 評估簡單變換方法（成對對數比率與Box-Cox冪變換）在高維組成數據中與複雜等距對數比率方法的表現。
• 展示卡方標準化對應分析與Box-Cox變換在基因組與地球化學數據集中的幾何結構保留能力。
• 提供實證證據，表明等距對數比率變換並非良好CoDA實踐的必要條件，特別是在現代高維情境下。

提出的方法

• 以Tellus地球化學數據集（6147個組分）與單細胞胸腺細胞基因組數據集（6147個非零基因）為案例研究，評估變換方法的表現。
• 對組成數據應用對應分析（CA）的卡方標準化，隨後進行Box-Cox冪變換（例如平方根變換，λ = 0.5），以穩定變異並處理零值。
• 使用Procrustes分析衡量子組合一致性，透過計算隨機子組合與完整組合之間的幾何結構相關性。
• 利用Procrustes相關性量化變換後子組合與完整組合之間的接近等距程度，以評估近似等距性。
• 比較成對對數比率（Aitchison原始方法）、等距對數比率（ilr）與樞軸對數比率變換在可解釋性與表現上的差異。
• 使用多項式分佈模型，解析推導在單位和約束下各組分之間的理論相關性，顯示隨著維度增加，相關性趨近於零。

实验结果

研究问题

• RQ1 精確的子組合一致性是否為有效組成數據分析所必需？近似一致性是否已足夠？
• RQ2 在高維組成數據中，簡單變換如成對對數比率或Box-Cox冪變換是否能達成與等距對數比率變換相當的表現？
• RQ3 組成數據的維度如何影響子組合一致性的程度？此影響是否隨數據規模而改變？
• RQ4 卡方標準化對應分析與Box-Cox變換在高維組成數據中，能在多大程度上保留幾何結構？
• RQ5 在現代應用中，特別是在具有數千個組分的基因組與微生物組研究中，CoDA對精確等距性的要求是否仍具合理性？

主要发现

• 高維組成數據（如6147個組分）的子組合顯示出顯著更高的接近精確一致性的程度，100個隨機子組合（大小5201）中90%的Procrustes相關性超過0.999。
• 在6147基因組組成中，兩個最豐富組分之間的多項式相關性在子組合超過2000個基因時降至約-0.1，顯示約束效應逐漸減弱。
• 使用λ = 0.5（平方根）的Box-Cox變換顯著提升卡方標準化CA的子組合一致性，表現為比未變換數據具有更高的Procrustes相關性。
• 成對對數比率與近似一致的變換方法達成近似等距性，Procrustes相關性接近1，顯示精確等距性並非實務表現的必要條件。
• 等距對數比率（ilr）變換並非良好實踐的必要條件；簡單方法如成對對數比率與Box-Cox變換在地球化學與基因組數據集中均表現穩健。
• 隨著維度增加，單位和約束對組分相關性的影響逐漸減弱，支持在高維CoDA中使用更簡單且更具可解釋性的變換方法。