[论文解读] Akbulut's corks and h-cobordisms of smooth simply connected 4-manifolds

Rob Kirby|ArXiv.org|Dec 4, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 18

一句话总结

本文证明，任意光滑、单连通的5维h- cobordism（在4-流形之间）均包含一个子h- cobordism（称为'Akbulut的cork'），该子h- cobordism为一个可缩的5-流形，且其补集为一个乘积。关键结果是：非平凡的h- cobordism源于通过其边界上的对合（involution）对一个可缩4-流形进行扭转，而这种结构解释了4-流形上的微分结构异样性，特别是同伦4-球面。

ABSTRACT

This is primarily an exposition, combining work of several authors (Curtis, Hsiang, Freedman, Stong, Matveyev, and Bizaca), of the proof that a smooth 5-dimensional h-cobordism between simply connected 4-manifolds is a product off of a contractible piece which itself is diffeomorphic to the 5-ball.

研究动机与目标

• 理解光滑、单连通的5维h- cobordism（在4-流形之间）的结构。
• 识别一个规范的子h- cobordism（Akbulut的cork），以捕捉整体h- cobordism的非平凡性。
• 证明4-流形上的微分结构异样性（如同伦4-球面）源于通过边界上的对合对一个可缩4-流形进行扭转。
• 统一并澄清先前使用手柄体技巧和Morse理论证明此类cork存在的方法。
• 通过在可缩4-流形中嵌入具有平凡法丛的2n个2-球面，将Akbulut的cork构造推广至高阶例子。

提出的方法

• 在5维h- cobordism上使用Morse函数，将其分解为包含0-、1-、2-、3-、4-和5-手柄的手柄体结构。
• 利用流形的连通性，消去0-和5-手柄，从而简化为仅含1-、2-、3-和4-手柄的结构。
• 通过隔离一个包含1-和2-手柄及其稳定化的可缩5-流形A，构造子h- cobordism $ A^5 $。
• 应用手柄滑动和手柄消去操作，确保$ A $的边界是单连通的，且$ M^5 $中$ A $的补集为乘积$ (M_0 - \text{int}A_0) \times [0,1] $。
• 利用$ A $中的2-手柄消除中间水平面的基本群，并通过添加1-2对消手柄来控制基本群关系。
• 通过在可缩4-流形$ B_{1/2} $中嵌入$ 2n $个恰当嵌入的2-球面，向其边界添加0- framing的2-手柄，并通过在所得2-球面上附着3-手柄，推广构造出h- cobordism。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个光滑、单连通的5维h- cobordism是否可分解为一个乘积h- cobordism与一个可缩子h- cobordism（cork）？
• RQ2 h- cobordism的非平凡性是否可被隔离于一个可缩5-流形的子复形中，其余部分为乘积？
• RQ3 每个同伦4-球面是否可通过从$ S^4 $中切去一个可缩4-流形并沿其边界用对合作为胶合映射而得到？
• RQ4 能否通过在可缩4-流形中使用多个具有平凡法丛的2-球面，将Akbulut的cork构造推广至高阶例子？
• RQ5 在cork边界上为乘积结构的条件是什么，该结构可延拓至cork本身？

主要发现

• 每个光滑、单连通的5维h- cobordism $ M^5 $（在$ M_0 $与$ M_1 $之间）均包含一个子h- cobordism $ A^5 $，使得$ A_0 $、$ A $和$ A_1 $为紧致可缩的4-和5-流形。
• 补集$ M^5 - \text{int}(A^5) $微分同胚于$ (M_0 - \text{int}(A_0)) \times [0,1] $，因此为乘积h- cobordism。
• 可选择子h- cobordism $ A^5 $，使得$ M^5 - A^5 $为单连通，从而确保cork不引入基本群的复杂性。
• $ A^5 $微分同胚于$ B^5 $，尽管未必保持h- cobordism结构；同时$ A_0 \times I $与$ A_1 \times I $也微分同胚于$ B^5 $。
• 边界微分同胚$ \tau: \bar{A}_0 \to \bar{A}_1 $为一个对合，且可延拓至$ A $，$ A_0 $与$ A_1 $通过一个在边界上限制为$ \tau $的映射微分同胚。
• 可通过从$ S^4 $中移除一个可缩4-流形$ A_0 $并沿$ \bar{A}_0 $上的对合作为胶合映射，构造出一个同伦4-球面$ \rho^4 $，从而推广了Akbulut原始构造。