[论文解读] Albanese and Picard 1-motives

Luca Barbieri-Viale, Vasudevan Srinivas|ArXiv.org|Jun 24, 1999

Mathematics and Applications被引用 25

一句话总结

本文通过代数方法构造了1-动机——阿爾巴內塞與佩卡德1-动机，推廣了特征零域上代數簇的經典阿爾巴內塞與佩卡德簇。通過霍奇、ℓ-進與德拉姆實現，證明了德利涅猜想，即這些1-动机實現了 $H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$、$H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$、$H^1(X,\mathbb{Z}(1))$ 與 $H_1(X,\mathbb{Z})$ 的無 torsion 部分，確立了普遍性與函子性。

ABSTRACT

We describe algebraically defined cohomological and homological Albanese and Picard 1-motives (or mixed motives) of any algebraic variety in characteristic zero, generalizing the classical Albanese and Picard varieties. We compute Hodge, l-adic and De Rham realizations proving Deligne's conjecture for the concerned mixed Hodge structures. We investigate functoriality, universality, homotopical invariance and invariance under formation of projective bundles. We compare our cohomological and homological 1-motives for normal schemes. For proper schemes, we obtain an Abel-Jacobi map from the (Levine-Weibel) Chow group of zero cycles to our cohomological Albanese 1-motive which is the universal regular homomorphism to semi-abelian varieties. By using this universal property we get 'motivic' Gysin maps for projective local complete intersection morphisms. This paper is an extended version of our preliminary Comptes Rendus Note, Academie des Sciences, Paris, Vol. 326, 1998.

研究动机与目标

• 構造代數定義的1-動機——Alb⁺(X)、Alb⁻(X)、Pic⁺(X)、Pic⁻(X)——推廣特徵零域上代數簇的經典阿爾巴內塞與佩卡德簇。
• 證明德利涅猜想：這些1-動機透過霍奇、ℓ-進與德拉姆實現，實現了混合霍奇結構中 $H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$、$H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$、$H^1(X,\mathbb{Z}(1))$ 與 $H_1(X,\mathbb{Z})$ 的無 torsion 部分。
• 確立上同調阿爾巴內塞1-動機作為零階代數群的萊文-韋伯爾查爾群到半阿貝爾簇的阿貝爾-賈可比映射的目標的普遍性。
• 利用上同調阿爾巴內塞1-動機的普遍性，為投影局部完整交態射定義動機上同調映射。

提出的方法

• 透過相對佩卡德函子與緊化之單純化解析，定義上同調阿爾巴內塞1-動機 Alb⁺(X) 與同調佩卡德1-動機 Pic⁻(X)。
• 分別利用代數簇 $X$ 的混合霍奇結構、ℓ-進上同調與德拉姆上同調，構造1-動機的霍奇、ℓ-進與德拉姆實現。
• 透過圖示追逐與佩卡德函子的可表性，證明不同解晰與緊化下構造的獨立性。
• 透過分析1-動機在基變換與拉回下的行為，建立函子性與在投影束下的不變性。
• 利用 Alb⁺(X) 作為阿貝爾-賈可比映射目標的普遍性，為投影局部完整交態射定義動機上同調映射。
• 應用 fpqc-層理論與佩卡德函子的可表性，驗證1-動機及其實現的代數結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否為任意特徵零域上的代數簇構造代數定義的1-動機，使其實現 $H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$、$H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$、$H^1(X,\mathbb{Z}(1))$ 與 $H_1(X,\mathbb{Z})$ 的無 torsion 部分？
• RQ2 這些1-動機是否滿足德利涅猜想，即其霍奇、ℓ-進與德拉姆實現與對應上同調群的相容性？
• RQ3 上同調阿爾巴內塞1-動機 Alb⁺(X) 是否為零階代數群的萊文-韋伯爾查爾群到半阿貝爾簇的正則同態的普遍對象？
• RQ4 能否利用 Alb⁺(X) 的普遍性，為投影局部完整交態射定義動機上同調映射？
• RQ5 1-動機在形成投影束與向量叢時如何行為？它們是否在這些構造下不變？

主要发现

• 上同調阿爾巴內塞1-動機 Alb⁺(X) 是同調佩卡德1-動機 Pic⁻(X) 的卡蒂埃對偶，且二者均在基域上代數定義。
• Alb⁺(X) 的霍奇實現同構於 $H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$ 的無 torsion 部分，而 Pic⁻(X) 則對應於 $H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$ 的對偶部分。
• 1-動機的 ℓ-進與德拉姆實現分別同構於 $X$ 的相應 ℓ-進與德拉姆上同調群，且與比較同構相容。
• 從零階代數群的萊文-韋伯爾查爾群到 Alb⁺(X) 的阿貝爾-賈可比映射，是在所有到半阿貝爾簇的正則同態中具有普遍性的。
• 利用 Alb⁺(X) 的普遍性，為投影局部完整交態射定義了動機上同調映射，推廣了經典的上同調映射。
• 1-動機在形成投影束與向量叢時不變，且滿足同倫不變性，此點透過圖示追逐與佩卡德函子的可表性得以證明。