[论文解读] Alcoves et p-rang des variétés abéliennes

B. C. Ngô, Alain Genestier|ArXiv.org|Jul 31, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文建立了特征为 $p$ 的阿贝尔簇的 $p$-秩与具伊瓦霍里型结构的主极化阿贝尔簇模空间特殊纤维的科特维茨-拉波波特分层之间的精确联系。通过局部模型与仿射单体路径的几何方法，证明了通常余集——即 $p$-秩等于维数的阿贝尔簇集合——在特殊纤维中是稠密的，从而解决了德容提出的问题。

ABSTRACT

We study the relation between the $p$-rank of abelian varieties in characteristic $p$ and the Kottwitz-Rapoport's stratification of the special fiber modulo $p$ of the moduli space of principally polarized abelian varieties with Iwahori type level structure on $p$. In particular, the density of the ordinary locus in that special fiber is proved.

研究动机与目标

• 阐明特征为 $p$ 的阿贝尔簇的 $p$-秩与具伊瓦霍里型结构的主极化阿贝尔簇模空间特殊纤维的科特维茨-拉波波特分层之间的关系。
• 确定特殊纤维中哪些分层对应于 $p$-秩最大的阿贝尔簇（即通常余集）。
• 证明通常余集在模空间特殊纤维中是稠密的，从而回答德容提出的问题。
• 建立 $p$-秩的几何与组合描述，基于辛群中的仿射单体路径与韦尔群元素。

提出的方法

• 利用拉波波特-津克的局部模型构造方法研究具伊瓦霍里型结构的阿贝尔簇模空间。
• 将特殊纤维分析为伊瓦霍里子群作用下的轨道并关于仿射韦尔群的元素进行索引。
• 依赖于特殊纤维与 $\mathrm{GSp}(2n)$ 的仿射旗流形中施伯曼簇的并集之间的识别。
• 应用单体与 $\mu$-允许性条件的理论，通过韦尔群元素对分层进行分类。
• 通过计算韦尔群元素 $w$ 的矩阵表示中 $t$-因子的数量来确定模空间中一点的 $p$-秩。
• 利用如下事实：$p$-秩等于满足 $w(e_i) = t e_i$ 的指标 $i$ 的数量，即对应于 $w$ 的矩阵对角线上 $t$ 的个数。

实验结果

研究问题

• RQ1 科特维茨-拉波波特分层中哪些分层对应于 $p$-秩最大的阿贝尔簇？
• RQ2 阿贝尔簇的 $p$-秩如何与仿射韦尔群中相关韦尔群元素的组合性质相关？
• RQ3 通常余集（即 $p$-秩等于维数 $n$ 的阿贝尔簇集合）在模空间特殊纤维中是否稠密？
• RQ4 能否仅从与局部模型中一点相关的仿射单体路径或韦尔群元素纯组合地计算 $p$-秩？
• RQ5 韦尔群元素 $w$ 的精确条件是什么，使得其对应的分层为通常分层？

主要发现

• 对应于由韦尔群元素 $w$ 索引的分层的阿贝尔簇的 $p$-秩等于 $r(w)$，即 $w$ 的矩阵表示中对角线上 $t$-因子的数量。
• 通常分层恰好是那些由 $w = t_{y\mu}$ 索引的分层，其中 $y \in W(\mathrm{GSp}(2n))$，即仿射韦尔群中的平移元素。
• 通常余集 $\mathcal{A}^{\mathrm{ord}}$ 是所有形如 $\mathcal{A}_{t_{y\mu}}$ 的分层的并集，对应于韦尔群中的平移元素。
• 由于科特维茨-拉波波特关于分层闭包的定理，通常余集在模空间的特殊纤维 $\mathcal{A}_s$ 中是稠密的。
• $p$-秩在科特维茨-拉波波特分层的每个分层上为常数，且最大 $p$-秩 $n$ 恰好在通常分层上实现。
• 该结果证实了德容的猜想：通常余集在具伊瓦霍里型结构的模空间特殊纤维中是稠密的。