[论文解读] Algebra of Hyperbolic Band Theory under Magnetic Field

Kazuki Ikeda, Yoshiyuki Matsuki+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入了磁性 Fuchsian 群及在均匀磁场下超曲面上的双曲磁性 Bloch 态，将欧几里得能带理论推广至负曲率空间。该研究建立了这些态与权为 $|2B|$ 的自守形式之间的对应关系，其中基本域上的磁通量被量化为 $φ = 4(g-1)π B$，从而为具有磁场的曲面上的双曲能带理论提供了新的代数框架。

ABSTRACT

We explore algebras associated with the hyperbolic band theory under a magnetic field for the first time. We define the magnetic Fuchsian group associated with a higher genus Riemann surface. By imposing the magnetic boundary conditions for the hyperbolic Bloch states, we construct the hyperbolic magnetic Bloch states and investigate their energy spectrum. We give a connection between such magnetic Bloch states and automorphic forms. Our theory is a general extension of the conventional algebra associated with the band theory defined on a Euclidean lattice/space into that of the band theory on a general hyperbolic lattice/Riemann surface.

研究动机与目标

• 将传统的能带理论从欧几里得晶格推广至黎曼曲面 genus $g \geq 2$ 上的双曲晶格，并在磁场作用下进行研究。
• 为包含磁性平移对称性和拓扑不变量的双曲能带理论构建数学框架。
• 建立双曲磁性 Bloch 态与庞加莱上半平面非零权自守形式之间的联系。
• 将 $PSL_2(\mathbb{R})$ 群的代数结构推广至包含磁通量与边界条件的磁性版本 $PSL_2(\mathbb{R})[B]$。
• 为在 cQED 和量子模拟器等量子平台中测试双曲能带理论提供基础。

提出的方法

• 定义由向量场 $S$、$T$ 和 $U$ 生成的磁性 $PSL_2(\mathbb{R})[B]$ 李群，通过规范势 $A = \frac{B}{y}dx$ 引入磁性修正。
• 将磁性 Fuchsian 群 $\hat{\gamma}_j^B$ 构造为磁性生成元 $\hat{S}_B$、$\hat{T}_B$ 和 $\hat{U}_B$ 的指数组合，以编码磁性平移对称性。
• 利用磁性 Fuchsian 群在双曲 Bloch 态上施加磁性边界条件，确保其具有相位因子 $e^{ik_j}$ 的准周期性。
• 推导磁通量条件 $\hat{\gamma}_{2g}^B \cdots \hat{\gamma}_1^B (\hat{\gamma}_{2g}^B)^{-1} \cdots (\hat{\gamma}_1^B)^{-1} = e^{i4(g-1)\pi B}$，该条件推广了高斯-博内定理。
• 将双曲磁性 Bloch 态 $\psi_{0,k}$ 构造为权为 $|2B|$ 的自守形式 $f$ 与相位调制函数 $u(z)$ 的乘积，确保其在磁性 Fuchsian 群作用下不变。
• 利用变换规则 $\check{g}f(z) = j(g,z)^{2B}f(gz)$，其中 $g \in SL_2(\mathbb{R})$，表明权为 $-2B$ 的自守形式在磁性群作用下一致变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将能带理论的代数结构从欧几里得空间推广至磁场作用下的双曲晶格？
• RQ2 双曲空间中磁性平移群的正确推广是什么？它与 genus $g \geq 2$ 的黎曼曲面基本群有何关系？
• RQ3 双曲磁性 Bloch 态在磁性 Fuchsian 群作用下如何变换？其拓扑特征是什么？
• RQ4 自守形式在描述双曲晶格上电子能谱的角色是什么？
• RQ5 在 $\{4g,4g\}$ 密铺的基本域中，磁通量与 Bloch 态量子数之间有何关系？

主要发现

• 磁性 Fuchsian 群 $\hat{\gamma}_j^B$ 被定义为传统 Fuchsian 群的非平凡扩张，通过规范场 $A = \frac{B}{y}dx$ 引入磁性平移对称性。
• 在 genus-$g$ 双曲曲面的基本域中，磁通量被量化为 $\phi = 4(g-1)\pi B$，且该磁通量出现在磁性 Fuchsian 生成元的对易关系中。
• 当 $B = 1/q$ 时，$PSL_2(\mathbb{R})$ 作为 $q$-重覆盖作用于磁性 $PSL_2(\mathbb{R})[B]$ 群，将磁性平移结构从环面推广至双曲曲面。
• 双曲磁性 Bloch 态 $\psi_{0,k}$ 被构造为 $\psi_{0,k}(z) = \psi_k(z) u(z)$，其中 $u(z)$ 是由权为 $|2B|$ 的自守形式 $f$ 衍生出的相位调制函数，确保其在磁性 Fuchsian 群作用下不变。
• 磁性哈密顿量 $H'$ 与生成元 $\check{S}, \check{T}, \check{U}$ 对易，其谱由权为 $|2B|$ 的自守形式 $f$ 决定，从而将量子力学与模形式联系起来。
• 当 $2B \in \mathbb{Z}$ 时，函数 $u(z)$ 定义良好，且 $\hat{\gamma}_j^B u(z) = u(z)$，确保 Bloch 态 $\psi_{0,k}$ 满足具有相位 $e^{ik_j}$ 的磁性 Bloch 条件。