[论文解读] Algebra of hypersymmetry (extended version) applied to state transformations in strongly relativistic interactions illustrated on an extended form of the Dirac equation

György Darvas|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文引入了一种名为超对称（HySy）的新不变性群，其基于与 SU(2) 同构的 tau 代数，统一了 3+1 参数物理量（如同位旋场荷，例如惯性质量与引力质量、洛伦兹荷与库仑荷）的标量与矢量分量。研究表明，扩展的狄拉克方程在洛伦兹变换与 HySy 共同作用下保持不变，为基本相互作用提供了高能对称性框架。

ABSTRACT

There are several 3+1 parameter quantities in physics (like vector + scalar potentials, 4-currents, space-time, 4-momentum). In most cases (but space-time), the 3- and the 1-parameter characterised elements of these quantities differ in the field-sources (e.g., inertial and gravitational masses, Lorentz- and Coulomb-type electric charges) associated with them. The members of the field-source pairs appear in the vector- and the scalar potentials, respectively. Sec. 1 and 2 present an algebra what demonstrates that the members of the field-source siblings are subjects of an invariance group that can transform them into each other. (This includes, the conservation of the isotopic field-charge spin, proven in previous publications.) The paper identifies the algebra of that transformation and characterises the group of the invariance, it discusses the properties of this group, shows how they can be classified in the known nomenclature, and why is this pseudo-unitary group isomorphic with the SU(2) group. This algebra is denoted by tau. The invariance group generated by the tau algebra is called hypersymmetry (HySy). The group of HySy had not been described. The defined symmetry group is able to make correspondence between scalars and vector components that appear often coupled in the characterisation of physical states. In accordance with conclusions in previous papers, the second part (Sec. 3 and 4) shows that the equations describing the individual fundamental physical interacions are invariant under the combined application of the Lorentz transformation and the here explored invariance group at high energy approximation (while they are left intact at lower energies). As illustration, the paper presents a simple form for an extended Dirac equation and a set of matrices to describe the combined transformation in QED. Sec. 2.2 shows applicability of this algebra for genetic matrices.

研究动机与目标

• 通过代数方法推导出将同位旋场荷亲缘关系（例如惯性质量与引力质量、洛伦兹荷与库仑荷）相互转换的不变性群。
• 建立该不变性群的代数结构，将其识别为与 SU(2) 同构的伪酉群，记为 tau (τ) 代数。
• 证明基本物理相互作用（特别是量子电动力学）在高能下，于洛伦兹变换与该新 HySy 对称性共同作用下保持不变。
• 将狄拉克方程扩展以包含该对称性，并证明其在联合 (SO+(3,1) ⊗ SU(2)) 变换下的协变性。

提出的方法

• 推导 tau (τ) 代数作为 3+1 参数物理量的标量与矢量分量之间变换的生成元。
• 将由 tau 代数生成的不变性群识别为超对称（HySy），并证明其与 SU(2) 同构。
• 构建一个包含广义动量与质量项的修正狄拉克方程，其中包含相反的同位旋场荷，保持在洛伦兹与 HySy 变换联合作用下的协变性。
• 应用 4×4 变换矩阵，对速度依赖的场荷流中三速度分量与同位旋场荷之间的相互作用进行建模。
• 使用群论分析对 HySy 群进行分类，并将其与粒子物理与规范场论中的已知命名体系相联系。
• 通过一个简单的扩展狄拉克方程与 QED 的矩阵表示说明形式体系，展示其在 (SO+(3,1) ⊗ SU(2)) 下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过统一的不变性群代数关联 3+1 参数物理量（如场荷）的标量与矢量分量？
• RQ2 将同位旋场荷亲缘关系相互转换的对称性的代数结构与群论分类为何？
• RQ3 为何由 tau 代数生成的不变性群与 SU(2) 同构？该同构在物理方程中如何体现？
• RQ4 洛伦兹变换与新 HySy 对称性共同作用如何保持扩展狄拉克方程在高能下的协变性？
• RQ5 该对称性对基本相互作用统一与狄拉克方程结构有何影响？

主要发现

• tau 代数生成一个与 SU(2) 同构的伪酉不变性群，可相互转换 3+1 物理量的标量与矢量分量。
• 扩展的狄拉克方程在洛伦兹变换与 HySy 对称性共同作用下保持不变，展示了原始狄拉克方程中不存在的新高能不变性。
• 当标量与矢量场荷源（如惯性质量与引力质量、洛伦兹荷与库仑荷）耦合于哈密顿量中时，HySy 不变量群可恢复协变性。
• 该对称性普遍适用于所有基本相互作用，但在低能下发生自发对称性破缺，而在高能下保持未破缺。
• 变换矩阵为 4×4，其 3×3 子式作用于场荷流的速度依赖分量，确保与相对论动力学的一致性。
• 该形式体系提供了一个数学框架，不仅适用于粒子物理，也适用于遗传矩阵规律，如第 2.2 节所示。