[论文解读] Algebra of the Infrared: String Field Theoretic Structures in Massive ${\cal N}=(2,2)$ Field Theory In Two Dimensions

Davide Gaiotto, Gregory W. Moore+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2015

Algebraic structures and combinatorial models被引用 38

一句话总结

该论文提出一种基于网络的形式化方法，利用红外数据——真空态、孤子中心电荷和孤子态——来描述1+1维非简并${\cal N}=(2,2)$场论中的半简并边界条件，表明相互作用和边界发射振幅满足$A_\infty$与$L_\infty$代数约束。该框架对半直线和区间上的BPS态进行分类，建立界面的结合算符积结构，并证明了范畴化的墙穿跃公式；此外，通过全纯Lefschetz纤维化，Landau-Ginzburg模型被证明实现了Fukaya-Seidel $A_\infty$-范畴。

ABSTRACT

We introduce a "web-based formalism" for describing the category of half-supersymmetric boundary conditions in $1+1$ dimensional massive field theories with ${\cal N}=(2,2)$ supersymmetry and unbroken $U(1)_R$ symmetry. We show that the category can be completely constructed from data available in the far infrared, namely, the vacua, the central charges of soliton sectors, and the spaces of soliton states on $\mathbb{R}$, together with certain "interaction and boundary emission amplitudes". These amplitudes are shown to satisfy a system of algebraic constraints related to the theory of $A_\infty$ and $L_\infty$ algebras. The web-based formalism also gives a method of finding the BPS states for the theory on a half-line and on an interval. We investigate half-supersymmetric interfaces between theories and show that they have, in a certain sense, an associative "operator product." We derive a categorification of wall-crossing formulae. The example of Landau-Ginzburg theories is described in depth drawing on ideas from Morse theory, and its interpretation in terms of supersymmetric quantum mechanics. In this context we show that the web-based category is equivalent to a version of the Fukaya-Seidel $A_\infty$-category associated to a holomorphic Lefschetz fibration, and we describe unusual local operators that appear in massive Landau-Ginzburg theories. We indicate potential applications to the theory of surface defects in theories of class S and to the gauge-theoretic approach to knot homology.

研究动机与目标

• 通过仅使用远红外数据，构建1+1维非简并${\cal N}=(2,2)$场论中半简并边界条件的完整描述。
• 识别控制此类理论中相互作用与边界发射振幅的代数结构，特别是$A_\infty$与$L_\infty$代数。
• 在半直线与区间上BPS态的背景下，实现墙穿跃现象的范畴化。
• 建立非简并Landau-Ginzburg理论中边界条件范畴与全纯Lefschetz纤维化关联的Fukaya-Seidel $A_\infty$-范畴之间的精确对应关系。
• 通过所提出的框架，探索其在类S理论中的表面缺陷以及规范理论纽结同调中的应用。

提出的方法

• 引入一种基于网络的形式化方法，通过孤子态及其相互作用的网络来编码边界条件，利用红外极限的数据。
• 定义满足$A_\infty$与$L_\infty$代数特征的高阶同伦关系的边界发射与相互作用振幅。
• 从孤子扇区的中心电荷、真空数据以及$\mathbb{R}$上的孤子态空间出发，构建边界条件的范畴。
• 使用Morse理论与超对称量子力学技术分析Landau-Ginzburg模型及其相关的Lefschetz纤维化。
• 证明所得范畴等价于与全纯Lefschetz纤维化关联的Fukaya-Seidel $A_\infty$-范畴的一种形式。
• 通过分析半直线上与区间上的BPS态，推导出一个范畴化的墙穿跃公式，推广经典墙穿跃公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅从红外数据完全重构非简并${\cal N}=(2,2)$理论中半简并边界条件的范畴？
• RQ2 控制此类理论中相互作用与边界发射振幅的代数结构是什么？它们与$A_\infty$与$L_\infty$代数有何关联？
• RQ3 BPS态在半直线与区间上如何从基于网络的形式化中产生？其范畴化结构为何？
• RQ4 非简并Landau-Ginzburg理论中边界条件的范畴在多大程度上等价于Fukaya-Seidel $A_\infty$-范畴？
• RQ5 该形式化方法能否用于推导BPS态的范畴化墙穿跃公式？

主要发现

• 半简并边界条件的范畴完全由红外极限中的真空态、孤子中心电荷与孤子态空间决定。
• 相互作用与边界发射振幅满足与$A_\infty$与$L_\infty$代数的高阶同伦关系同构的关系系统。
• 基于网络的形式化方法提供了一种计算半直线上与区间上BPS态的方法，推广了标准BPS谱。
• 理论之间的半简并界面具有结合算符积结构，推广了共形场论中的融合概念。
• 在Landau-Ginzburg极限下，边界条件的范畴等价于与全纯Lefschetz纤维化关联的Fukaya-Seidel $A_\infty$-范畴。
• 该形式化方法导出了一个范畴化的墙穿跃公式，将经典的Kontsevich-Soibelman公式推广至边界条件与孤子扇区的设定。