[论文解读] Algebraic bivariant $K$-theory and Leavitt path algebras

Guillermo Cortiñas⋆, Diego Montero|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2018

Advanced Operator Algebra Research被引用 1

一句话总结

本文证明了代数双不变K-理论kk通过余核Coker(I − AE)和Coker(I − AtE)分类了在交换环ℓ上的Leavitt路径代数L(E)，并推广了C*-代数的统一系数定理和K"unneth定理。它证明了kk(L(E))仅依赖于KH₀(L(E))和KH₁(L(E))，并给出了kk(L(E), R)的UCT型正合序列，该序列以K-理论和Ext群表示。

ABSTRACT

This article is the first of two where we investigate to what extent homotopy invariant, excisive and matrix stable homology theories help one distinguish between the Leavitt path algebras $L(E)$ and $L(F)$ of graphs $E$ and $F$ over a commutative ground ring $\ell$. In this first article we consider Leavitt path algebras of general graphs over general ground rings; the second article will focus mostly on purely infinite simple unital Leavitt path algebras over a field. Bivariant algebraic $K$-theory $kk$ is the universal homology theory with the properties above; we prove a structure theorem for unital Leavitt path algebras in $kk$. We show that under very mild assumptions on $\ell$, for a graph $E$ with finitely many vertices and reduced incidence matrix $A_E$, the structure of $L(E)$ depends only on the isomorphism classes of the cokernels of the matrix $I-A_E$ and of its transpose, which are respectively the $kk$ groups $KH^1(L(E))=kk_{-1}(L(E),\ell)$ and $KH_0(L(E))=kk_0(\ell,L(E))$. Hence if $L(E)$ and $L(F)$ are unital Leavitt path algebras such that $KH_0(L(E))\cong KH_0(L(F))$ and $KH^1(L(E))\cong KH^1(L(F))$ then no homology theory with the above properties can distinguish them. We also prove that for Leavitt path algebras, $kk$ has several properties similar to those that Kasparov's bivariant $K$-theory has for $C^*$-graph algebras, including analogues of the Universal coefficient and K\"unneth theorems of Rosenberg and Schochet.

研究动机与目标

• 确定同伦不变、可裂且矩阵稳定的同调理论在多大程度上能区分交换环ℓ上的Leavitt路径代数L(E)和L(F)。
• 刻画在普遍此类理论——双不变代数K-理论kk中L(E)的结构。
• 在Leavitt路径代数的背景下，建立统一系数定理（UCT）和K"unneth定理的类比。
• 将KH₁(L(E))与形如0 → M∞ → E → L(E) → 0的扩张联系起来，并证明从Ext(L(E))到KH₁(L(E))存在自然满射。

提出的方法

• 利用kk作为代数上初始的可裂、同伦不变且E-稳定同调理论的普遍性质。
• 应用逆悬函子Ω，定义kk_n(A, B) = hom_kk(j(A), Ω^n j(B))，并通过kk_n(ℓ, B) = KH_n(B)将其与Weibel的KH-理论关联。
• 通过约化关联矩阵的余核刻画KH₀(L(E))和KH₁(L(E))：KH₀(L(E)) ≅ Coker(I − AtE)，KH₁(L(E)) ≅ Coker(I − AE)。
• 证明一个结构定理：j(L(E)) ≅ j(L₀^s ⊕ L₁^r ⊕ ⨁ L_{d_{i+1}})，其中s = #sing(E)，r = rk(KH₁(L(E)))，d_i为K₀(L(E))中挠子群的不变因子。
• 建立一个UCT型正合序列：0 → Ext¹_Z(KH₀(L(E)), KH_{n+1}(R)) → kk_n(L(E), R) → Hom(KH₀(L(E)), KH_n(R)) ⊕ Hom(Ker(I−AtE), KH_{n+1}(R)) → 0。
• 证明一个K"unneth型正合序列：0 → KH₁(L(E)) ⊗ KH_{n+1}(R) ⊕ Ker(I−AE) ⊗ KH_n(R) → kk_n(L(E), R) → Tor¹_Z(KH₁(L(E)), KH_n(R)) → 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 可裂、同伦不变且矩阵稳定的同调理论在多大程度上能区分交换环ℓ上的Leavitt路径代数L(E)和L(F)？
• RQ2 L(E)的kk-理论类是否可仅由余核Coker(I − AE)和Coker(I − AtE)确定？
• RQ3 双不变代数K-理论kk是否满足类似于Kasparov的KK-理论中C*-代数的统一系数定理？
• RQ4 kk(L(E), R)是否存在以K-理论群的张量积和Tor群表示的K"unneth型定理？
• RQ5 KH₁(L(E))与形如0 → M∞ → E → L(E) → 0的扩张的同伦类群Ext(L(E))之间有何关系？

主要发现

• L(E)的kk-类仅依赖于Coker(I − AE)和Coker(I − AtE)，其中KH₀(L(E)) ≅ Coker(I − AtE)，KH₁(L(E)) ≅ Coker(I − AE)。
• 对于顶点集有限的图E，有j(L(E)) ≅ j(L₀^s ⊕ L₁^r ⊕ ⨁_{i=1}^n L_{d_{i+1}})，其中s = #sing(E)，r = rk(KH₁(L(E)))，d_i为K₀(L(E))中挠子群的不变因子。
• UCT型正合序列 0 → Ext¹_Z(KH₀(L(E)), KH_{n+1}(R)) → kk_n(L(E), R) → Hom(KH₀(L(E)), KH_n(R)) ⊕ Hom(Ker(I−AtE), KH_{n+1}(R)) → 0 成立，推广了算子代数中的UCT。
• 已建立K"unneth型正合序列：0 → KH₁(L(E)) ⊗ KH_{n+1}(R) ⊕ Ker(I−AE) ⊗ KH_n(R) → kk_n(L(E), R) → Tor¹_Z(KH₁(L(E)), KH_n(R)) → 0，其分裂性通过一个到自然投影的截面得到证明。
• 存在一个自然满射Ext(L(E)) ։ KH₁(L(E))，将扩张的同伦类群与KH₁联系起来。
• 恒等式#sing(E) = rk(KH₀(L(E))) − rk(KH₁(L(E)))成立，使得奇异顶点的数量可从K-理论数据中恢复。