[论文解读] Algebraic Branching Programs, Border Complexity, and Tangent Spaces

Bläser, Markus, Ikenmeyer, Christian+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用 3

一句话总结

本文為計算多項式 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ 的代數分支程式（ABPs）建立了 Ω(n²) 的下界，超越了 Baur 與 Strassen 所提出的傳統 Ω(n log n) 下界。證明引入了一種深度簡化技術，將小型 ABP 轉換為計算 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x) 的齊次 ABP，其中 ε(x) 為結構化誤差項，並利用先前下界對誤差的魯棒性完成論證。相同方法亦為計算 n 個變數上次數為 0.1n 的初等對稱多項式的代數公式，建立了 Ω(n²) 的下界，超越了先前的 Ω(n²/log n) 限制。

ABSTRACT

Nisan showed in 1991 that the width of a smallest noncommutative single-(source,sink) algebraic branching program (ABP) to compute a noncommutative polynomial is given by the ranks of specific matrices. This means that the set of noncommutative polynomials with ABP width complexity at most k is Zariski-closed, an important property in geometric complexity theory. It follows that approximations cannot help to reduce the required ABP width. It was mentioned by Forbes that this result would probably break when going from single-(source,sink) ABPs to trace ABPs. We prove that this is correct. Moreover, we study the commutative monotone setting and prove a result similar to Nisan, but concerning the analytic closure. We observe the same behavior here: The set of polynomials with ABP width complexity at most k is closed for single-(source,sink) ABPs and not closed for trace ABPs. The proofs reveal an intriguing connection between tangent spaces and the vector space of flows on the ABP. We close with additional observations on VQP and the closure of VNP which allows us to establish a separation between the two classes.

研究动机与目标

• 為計算多項式 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ 的 ABP 建立超線性、具體而言為二次的下界，超越傳統的 Ω(n log n) 下界。
• 將二次下界推廣至計算 n 個變數上次數為 0.1n 的初等對稱多項式的代數公式。
• 發展一種 ABP 的深度簡化技術，保留結構特性，並使下界能穩健地轉移到具有小規模結構化擾動的多項式。
• 展示針對齊次 ABP 的先前下界在受控擾動下依然有效，進而使非齊次但具結構的多項式能獲得新的下界。

提出的方法

• 提出一種深度簡化程序，將任何計算 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ 的小型 ABP 轉換為大小相近的齊次 ABP，使其計算 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x)，其中 ε(x) 為結構化誤差多項式。
• 利用 [Kum19] 對齊次 ABP 所得的下界，在 ε(x) 滿足特定結構約束時，仍適用於形式為 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x) 的多項式。
• 應用遞迴公式簡化技術，幾何地降低公式的形式次數，同時控制每一步驟引入的誤差項數量。
• 使用關鍵命題（命題 5.14）指出，在每一步簡化中，誤差項數量最多增加 O(n²/dk)，其中 dk 為目前的形式次數。
• 利用定理 5.13，於 Aj 與 Bj 的常數項受約束下，建立計算 ESYM(n, 0.1n) + ∑ Aj·Bj + R 的公式大小下界。
• 利用簡化後形式次數 ≤0.1n 時誤差項數量仍受 O(n) 控制的事實，使已知下界得以應用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否將計算 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ 的 ABP 之傳統 Ω(n log n) 下界提升至 Ω(n²)？
• RQ2 Kum19 所得的齊次 ABP 下界對結構化小擾動（如 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x)）是否仍具魯棒性？
• RQ3 相同之深度簡化與誤差魯棒性技術能否應用於推導代數公式的更強下界？
• RQ4 Ben-Or 對初等對稱多項式的構造對一般代數公式是否為最佳？或可證明更強的下界？
• RQ5 形式次數簡化並控制誤差增長之技術能否推廣至其他多項式族？

主要发现

• 本文為計算多項式 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ 的 ABP 建立了 Ω(n²) 下界，超越傳統的 Ω(n log n) 下界。
• 下界透過證明任何計算 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ 的小型 ABP 均可經深度簡化轉為計算 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x) 的齊次 ABP（其中 ε(x) 為結構化誤差多項式）而達成。
• 齊次 ABP 下界之魯棒性確保相同 Ω(n²) 下界適用於 ∑ₙᵢ₌₁ xⁱⁿ + ε(x)，從而完成證明。
• 為計算 n 個變數上次數為 0.1n 的初等對稱多項式的代數公式，證明了 Ω(n²) 下界，超越先前最佳之 Ω(n²/log n)。
• 此下界與 Ben-Or 對深度 3 公式之 O(n²) 上界相符，顯示其構造即使對一般代數公式亦為最佳。
• 該方法顯示公式簡化過程中引入的誤差項數量始終受控，不會破壞下界，進而使已知下界可穩健地轉移到擾動多項式。