[论文解读] Algebraic cobordism

Marc Levine|ArXiv.org|Apr 15, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 144

一句话总结

本文提出了一种在特征零的域上的概族上定义的普遍定向Borel-Moore同调理论，即代数cobordism $\Omega_*$，并将其确立为取值于Lazard环的此类理论的普遍例子。该构造利用形式群律和带有线丛的循环的对称张量范畴，得到一个推广了Chow群与K-理论的理论，并推测其与动机同伦理论中的$\mathbb{P}^1$-谱$MGL$存在联系。

ABSTRACT

Together with F. Morel, we have constructed in \cite{CR, Cobord1, Cobord2} a theory of {\em algebraic cobordism}, an algebro-geometric version of the topological theory of complex cobordism. In this paper, we give a survey of the construction and main results of this theory; in the final section, we propose a candidate for a theory of higher algebraic cobordism, which hopefully agrees with the cohomology theory represented by the $¶^1$-spectrum $MGL$ in the Morel-Voevodsky stable homotopy category.

研究动机与目标

• 在特征零的域上的分离有限型概族范畴上构造一个普遍定向Borel-Moore同调理论。
• 确立代数cobordism $\Omega_*$ 作为此类理论的普遍例子，其取值于Lazard环。
• 通过射影丛和陈类，将定向同调理论的形式群律结构推广至代数几何。
• 通过对称张量范畴的逆系统与同伦极限，提出更高阶代数cobordism的候选定义。
• 通过推测所得到的空间在Morel-Voevodsky的稳定同伦范畴中表示$\mathbb{P}^1$-谱$MGL$，将该理论与动机同伦理论联系起来。

提出的方法

• 构造一个带有总度数分次的对称张量范畴 $\widetilde{\Omega}^{(n)}(X)$，其对象为带线丛的循环，并配备陈类变换。
• 在Lazard环 $\mathbb{L}^{(n)}_*$ 上施加对应于形式群律 $F_{\mathbb{L}^{(n)}}$ 的关系，包括关于线丛张量积的交换律与结合律。
• 将 $\Omega_{m,r}^{(n)}(X)$ 定义为分类空间 $B\widetilde{\Omega}_m^{(n)}(X)$ 的第 $r$ 个同伦群，形成关于 $n$ 的逆系统。
• 取逆极限 $\Omega_{m,r}(X) = \varprojlim_n \Omega_{m,r}^{(n)}(X)$，以定义更高阶代数cobordism群。
• 利用Lazard环的普遍性质，确保任意定向同调理论均通过唯一的环同态因子化至 $\Omega_*$。
• 推测用于定义 $\Omega_{m,r}(X)$ 的逆系统在所有 $n$ 上稳定，且同伦极限 $B\widetilde{\Omega}_m(X) = \mathop{\rm holim}_n B\widetilde{\Omega}_m^{(n)}(X)$ 定义了一个代表 $MGL$ 的谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征零的域上的概族上，普遍定向Borel-Moore同调理论是什么？它与形式群律有何关系？
• RQ2 如何通过普遍性质构造一个既推广Chow群又推广K-理论的代数cobordism理论？
• RQ3 能否通过对称张量范畴的逆系统与同伦极限来定义更高阶代数cobordism？
• RQ4 所提出的 $\Omega_{m,r}(X)$ 构造在 $n$ 上是否稳定？当 $r=0$ 时是否能恢复 $\Omega_m(X)$？
• RQ5 所得到的谱 $B\widetilde{\Omega}_m(X)$ 是否在Morel-Voevodsky的稳定同伦范畴中与$\mathbb{P}^1$-谱$MGL$同伦等价？

主要发现

• 代数cobordism $\Omega_*$ 是特征零的域 $k$ 上 $\operatorname{\mathbf{Sch}}_k$ 的普遍定向Borel-Moore同调理论。
• 将 $\Omega_*$ 限制在光滑拟射影概族上，可得到取值于Lazard环 $\mathbb{L}^*$ 的普遍定向同调理论 $\Omega^*$。
• 该理论满足射影丛公式与同伦性质，其形式群律是普遍的，由Lazard环给出。
• 通过 $\Omega_{m,r}^{(n)}(X)$ 的逆极限构造 $\Omega_{m,r}(X)$，当 $r=0$ 时可恢复 $\Omega_m(X)$，如同构 $\Omega_{m,0}(X) \cong \Omega_m(X)$ 所示。
• 该理论自然作用于Lazard环 $\mathbb{L}^{(n)}$ 上，且陈类变换与形式群律结构相容。
• 本文推测用于定义 $\Omega_{m,r}(X)$ 的逆系统对所有 $r$ 均稳定，且同伦极限 $B\widetilde{\Omega}_m(X)$ 代表$\mathbb{P}^1$-谱$MGL$。