[论文解读] Algebraic Cobordism of Classifying Spaces

Dinesh Deshpande|ArXiv.org|Jul 25, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 21

一句话总结

本文定义了线性代数群的分类空间的代数cobordism，并证明对于复数经典李群（GL(n), SL(n), Sp(n), O(n), SO(2n+1)）以及有限群（阿贝尔群与8阶四元数群），代数cobordism环 $\Omega^*(BG)$ 同构于复cobordism环 $MU^*(BG)$。该构造依赖于逐层过滤以稳定不同表示选择下的定义，同构关系通过等变cobordism方法并对照 motivic 与 Chow 上同调中的已知结果加以验证。

ABSTRACT

We define algebraic cobordism of classifying spaces, Ω^*(BG) and G-equivariant algebraic cobordism Ω^*_G(-) for a linear algebraic group G. We prove some properties of the coniveau filtration on algebraic cobordism, denoted F^j(Ω^*(-)), which are required for the definition to work. We show that G-equivariant cobordism satisfies the localization exact sequence. We calculate Ω^*(BG) for algebraic groups over the complex numbers corresponding to classical Lie groups GL(n), SL(n), Sp(n), O(n) and SO(2n+1). We also calculate Ω^*(BG) when G is a finite abelian group. A finite non-abelian group for which we calculate Ω^*(BG) is the quaternion group of order 8. In all the above cases, we check that Ω^*(BG) is isomorphic to MU^*(BG).

研究动机与目标

• 为线性代数群 $G$ 的分类空间定义代数cobordism $\Omega^*(BG)$，以解决商构造中的不稳定性问题。
• 建立关键群（包括经典李群与8阶四元数群）的 $\Omega^*(BG) \cong MU^*(BG)$ 同构关系。
• 将代数cobordism框架扩展至等变设置，证明 $G$-等变cobordism的局部化正合序列。
• 验证从代数cobordism到复cobordism的典范映射在已知 Chow 环映射为同构的情形下亦为同构。
• 通过主同构关系推广 Yagita 关于代数Brown-Peterson上同调的结果，证明 $\Omega^*_{BP}(BG) \cong BP^*(BG)$。

提出的方法

• 利用代数cobordism上的逐层过滤定义 $\Omega^*(BG)$，以稳定不同表示与不变闭子集 $S$ 选择下，商空间 $\Omega^i((\mathbb{A}^N \setminus S)/G)$ 的定义。
• 为 $G$-概形构造 $G$-等变代数cobordism $\Omega^*_G(-)$，并证明其满足局部化正合序列。
• 利用已知同构 $\Omega^*(X) \otimes_{\Omega^*} \mathbb{Z} \cong CH^*(X)$ 将代数cobordism 与 Chow 环联系起来。
• 利用 $\Omega^*(\text{pt}) \cong L$（Lazard 环）与 $MU^*(\text{pt}) \cong L$ 的事实，与复cobordism 进行比较。
• 应用形式群律技巧与 $MU^*(BG)$ 中的陈类计算，推导 $\Omega^*(BG)$ 中的关系，特别是针对 $BQ$ 的情形。
• 通过证明 $\Omega^*(BG)$ 中的所有关系均由定义 $MU^*(BG)$ 的相同幂级数关系所诱导，从而验证同构 $\Omega^*(BG) \cong MU^*(BG)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为线性代数群 $G$ 的分类空间 $\Omega^*(BG)$ 一致地定义代数cobordism？
• RQ2 $\Omega^*(BG)$ 是否与经典李群及有限群的复cobordism $MU^*(BG)$ 一致？
• RQ3 逐层过滤如何在不同表示与不变闭子集选择下稳定 $\Omega^*(BG)$ 的定义？
• RQ4 对于非阿贝尔有限群（如8阶四元数群）的 $\Omega^*(BG)$ 结构如何？
• RQ5 同构 $\Omega^*(BG) \cong MU^*(BG)$ 在多大程度上推广了 Yagita 关于代数Brown-Peterson上同调的结果？

主要发现

• 对于 $\mathbb{C}$ 上的 $G = GL(n), SL(n), Sp(n), O(n), SO(2n+1)$，有 $\Omega^*(BG) \cong MU^*(BG)$，且同构由与复cobordism 中相同的形式群律关系所诱导。
• 对于有限阿贝尔群 $G$，有 $\Omega^*(BG) \cong MU^*(BG)$，其结构由与Chow环中相同的關係所决定，并推广至cobordism。
• 对于8阶四元数群 $Q$，有 $\Omega^*(BQ) \cong MU^*(BQ)$，同构通过 $MU^*[[x,y,z]]$ 中的六个幂级数关系建立。
• $\Omega^*(BQ)$ 中的六个关系源自 $MU^*(BG)$ 中的陈类恒等式，并验证其与 $MU^*(BQ)$ 的定义关系一致。
• $CH^*(BQ)$ 中关系的像表明 $CH^*(BQ) \cong \mathbb{Z}[x,y,z]/(2x=2y=4z=0, xy=2z)$，且该结构可提升至 $\Omega^*(BQ)$。
• 该结果意味着 Yagita 的同构 $\Omega^*_{BP}(BG) \cong BP^*(BG)$ 对于相同群成立，因为 $BP^*(BG)$ 是 $MU^*(BG)$ 的商环。