[论文解读] Algebraic coherent confluence and higher globular Kleene algebras

Cameron Calk, Éric Goubault+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Logic, programming, and type systems参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文引入了高维环状克莱尼代数，作为一种无点的代数框架，用于形式化高维重写系统中的相干合流性。通过将克莱尼代数推理扩展至n维结构，该文通过等式演算证明了相干的Church-Rosser定理与相干的Newman引理，这些结果在多图重写系统中被实例化，从而作为推论恢复了经典结果。

ABSTRACT

We extend the formalisation of confluence results in Kleene algebras to a formalisation of coherent confluence proofs. For this, we introduce the structure of higher globular Kleene algebra, a higher-dimensional generalisation of modal and concurrent Kleene algebra. We calculate a coherent Church-Rosser theorem and a coherent Newman's lemma in higher Kleene algebras by equational reasoning. We instantiate these results in the context of higher rewriting systems modelled by polygraphs.

研究动机与目标

• 通过引入高维代数结构，统一克莱尼代数合流性证明与高维重写。
• 将经典合流性结果（如Church-Rosser定理与Newman引理）推广至高维，形式化相干合流性。
• 为高维重写中的相干性提供一种代数的、无点的方法，该方法推广了模态与并发克莱尼代数。
• 在高维环状克莱尼代数中的等式推理与高维重写的多图模型之间建立桥梁。
• 通过代数推导，在多图模型中将经典多图结果（如Church-Rosser定理与Newman引理）作为推论恢复。

提出的方法

• 引入具有多重复合、源/目标运算及严格交换律的高维环状克莱尼代数，以建模高维重写。
• 在克莱尼代数中使用等式推理，推导出n维系统的相干Church-Rosser定理与相干Newman引理。
• 定义构造K(P, Γ)为基于多图P与胞胞扩张Γ的克莱尼代数，用于捕捉重写步骤与合流填充。
• 引入Γ′ = (Γc)∗n作为Γ在上下文中的闭包，用于关联不同维度下合流性与Church-Rosser性质的关系。
• 应用n-星运算与宽松同态性质，推导出高维中合流性与Church-Rosser填充之间的包含关系。
• 利用K(P, Γ)与多图重写之间的对应关系，将在多图模型中实例化代数结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典合流性结果（如Church-Rosser定理）如何推广至高维重写系统？
• RQ2 除标准克莱尼代数外，何种代数结构可支持高维中的相干合流性证明？
• RQ3 在高维环状克莱尼代数中通过等式推理能否恢复多图重写中的已知结果（如Church-Rosser定理与Newman引理）？
• RQ4 在高维重写中，局部合流性、合流性与Church-Rosser性质之间的精确关系为何？
• RQ5 K(P, Γ)中重写步骤与合流填充的构造如何与高维重写的多图模型相关联？

主要发现

• 本文在高维环状克莱尼代数中建立了相干Church-Rosser定理，表明(x + y)* ≤ y* · x* 暗示存在相干合流结构。
• 通过代数方法推导出相干的Newman引理，证明局部合流性通过等式推理可推出高维中的合流性。
• 证明了构造K(P, Γ)与Γ-一致性相容，即当且仅当Γ′是((Pc_n)∨n−1, Pc_n)的(n−1)-合流填充时，Γ是P的合流填充。
• 定理4.6证明：对于n-多图P与胞胞扩张Γ，Γ是Church-Rosser填充当且仅当它是合流填充，从而以多图形式恢复了经典的Church-Rosser定理。
• 定理4.7表明：对于终止的n-多图，局部合流性通过同一套代数框架可推出合流性，从而在多图设定下恢复了Newman引理。
• 所有结果均通过K(P, Γ)中的等式推导获得，利用了n-星与闭包运算的性质，并通过多图实例化得到验证。