[论文解读] Algebraic complete axiomatisation of ZX-calculus with a normal form via elementary matrix operations

Quanlong Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文通過基本矩陣運算，提出了一種代數的、完整的量子比特ZX演算公理化方法，利用圖形化標準型實現完備性。透過以代數相位運算取代三角函數規則，並以ZX圖形表示基本矩陣，該形式系統實現了純粹的圖形化線性代數，並提供了一個內部的、自包含的完備性證明，無需依賴外部結果或超越函數。

ABSTRACT

In this paper we give a complete axiomatisation of qubit ZX-calculus via elementary transformations which are basic operations in linear algebra. This formalism has two main advantages. First, all the operations of the phases are algebraic ones without trigonometry functions involved, thus paved the way for generalising complete axiomatisation of qubit ZX-calculus to qudit ZX-calculus and ZX-calculus over commutative semirings. Second, we characterise elementary transformations in terms of ZX diagrams, so a lot of linear algebra stuff can be done purely diagrammatically.

研究动机与目标

• 發展一種不使用三角函數的、量子比特ZX演算的完整代數公理化方法。
• 透過源自基本矩陣變換的圖形化標準型建立完備性。
• 透過使用代數相位運算，使形式系統可推廣至量子多值ZX演算及交換半環上的ZX演算。
• 僅使用ZX演算規則，不依賴外部框架（如ZW演算），提供自包含的完備性證明。

提出的方法

• 使用代數相位運算，將基本矩陣（交換行、縮放、加法）表示為ZX圖形。
• 透過將相位遞歸分解為2的冪次之和，定義ZX態圖形的標準型。
• 使用圖形規則（如(Sym)、(Aso)、(Pcy)和(S uc)）操作相位結構，以達成標準形式。
• 利用映射-態對偶性，將標準型從態擴展至任意矩陣。
• 將標準型應用於生成元與標量，證明其可重寫為標準形式。
• 透過證明任意兩個相等的矩陣在圖形解釋下均產生相同的標準型，從而建立完備性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用三角函數的情況下，實現量子比特ZX演算的完整代數公理化？
• RQ2 能否在不依賴外部完備性結果的情況下，內部證明ZX演算的完備性？
• RQ3 基本矩陣運算能否在ZX圖形框架內被完全表示與操作？
• RQ4 是否存在一種ZX圖形的標準型，可實現自包含的完備性證明？
• RQ5 此形式系統能否推廣至量子多值系統與交換半環？

主要发现

• 本文提出了一種僅使用代數相位運算與基本矩陣變換的、量子比特ZX演算的完整代數公理化方法。
• 形式系統中的所有規則均為代數性，避免使用三角函數，從而可推廣至量子多值與基於半環的ZX演算。
• 透過將相位遞歸分解為2的冪次之和，構造出任意ZX態圖形的標準型，進而獲得標準表示。
• 標準型使所有生成元與標量均可重寫為唯一且標準的形態，進而實現自包含的完備性證明。
• 完備性證明為內部證明，僅依賴ZX演算規則，不依賴外部框架（如ZW演算）或先前的完備性結果。
• 該方法使線性代數運算（如求解線性系統）能透過ZX圖形重寫進行圖形化操作。