[论文解读] Algebraic connectivity of multigraphs

O Suil|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2016

Graph theory and applications参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过证明对于大多数多重图，其第二小的拉普拉斯特征值 μ₂(G) 受 κ(G)·m(G) 上界限制，将 Fiedler 关于代数连通性的结果推广至多重图，其中 κ(G) 为顶点连通度，m(G) 为每个顶点的最大边重数。该上界是紧的，通过显式构造达到等式的 d-正则多重图得以证明。

ABSTRACT

Let $\mu_2(G)$ be the second smallest Laplacian eigenvalue of a graph $G$, and let $\kappa(G)$ be the minimum size of a vertex set $S$ such that $G-S$ is disconnected. Fiedler proved that $\mu_2(G) \le \kappa(G)$ for a non-complete simple graph $G$, for this reason $\mu_2(G)$ is called the algebraic connectivity of $G$. We extend his result to multigraphs. For a pair of vertices $u$ and $v$, let $m(u,v)$ be the number of edges with endpoints $u$ and $v$. For a vertex $v$, let $m(v)=\max_{u \in N(v)} m(v,u)$, where $N(v)$ is the set of neighbors of $v$, and let $m(G)=\max_{v \in V(G)} m(v)$. We prove that for any multigraph $G$, except when $G$ is a multigraph obtained from a complete graph by duplicating edges, $\mu_2(G) \le \kappa(G) m(G)$. We also prove that for a $d$-regular multigraph $G$, except for the 2-vertex $d$-regular multigraph, if $\mu_2(G) > \frac d4$, then $G$ is 2-connected. For $t\ge2$ and infinitely many $d$, we construct $d$-regular multigraphs $H$ with $\mu_2(H)=d$, $\kappa(H)=t$, and $m(H)=\frac dt$. These graphs show that the inequality $\mu_2(G) \le \kappa(G) m(G)$ is sharp. In addition, we prove that if $G$ is a $d$-regular multigraph, except for a graph obtained from a complete graph by duplicating edges, then $\mu_2(G) \le d$, equality holds for the graphs in the construction.

研究动机与目标

• 将 Fiedler 不等式 μ₂(G) ≤ κ(G) 从简单图推广至多重图。
• 定义并分析边重数在控制代数连通性中的作用。
• 通过 d-正则多重图的显式构造，建立 μ₂(G) ≤ κ(G)·m(G) 的紧致性。
• 研究多重图中代数连通性、正则性与顶点连通度之间的关系。
• 确定 d-正则多重图中 μ₂(G) = d 成立的条件。

提出的方法

• 将 m(G) 定义为所有顶点 v 上，v 与其任意邻居之间最大边重数的上确界。
• 引入 κ(G) 作为最小顶点割大小，μ₂(G) 作为第二小的拉普拉斯特征值。
• 运用谱图论与结构分析，推导出非完全多重图中存在重复边时，μ₂(G) ≤ κ(G)·m(G) 的不等式。
• 构造无限族的 d-正则多重图，使得 μ₂(H) = d，κ(H) = t，m(H) = d/t，以证明该界的紧致性。
• 分析在 d-正则多重图中，高代数连通性（μ₂(G) > d/4）对 2-连通性的含义。
• 由于结构上的特殊性，将边重复的完全图排除在主不等式之外作为例外情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 当考虑边重数时，不等式 μ₂(G) ≤ κ(G) 是否对多重图成立？
• RQ2 不等式 μ₂(G) ≤ κ(G)·m(G) 是否能在多重图中取等？
• RQ3 何种结构条件使得在 d-正则多重图中，μ₂(G) > d/4 蕴含 2-连通性？
• RQ4 对于哪些 d-正则多重图，等式 μ₂(G) = d 成立？
• RQ5 边重数如何影响多重图中的谱隙与连通性？

主要发现

• 对于所有非通过重复完全图边得到的多重图 G，有 μ₂(G) ≤ κ(G)·m(G)，从而建立了广义的 Fiedler 型界。
• 该界 μ₂(G) ≤ κ(G)·m(G) 是紧的，通过构造满足 μ₂(H) = d，κ(H) = t，m(H) = d/t 的 d-正则多重图得以证明，其中 t ≥ 2 且存在无穷多个 d。
• 对于 d-正则多重图（排除边重复的完全图），有 μ₂(G) ≤ d，且在所构造的族中可达到等式。
• 若在 d-正则多重图中（排除两顶点情况）μ₂(G) > d/4，则 G 是 2-连通的，表明高代数连通性与强连通性相关。
• 每个顶点的最大边重数 m(G) 在调节多重图中代数连通性的上界方面起着关键作用。
• 通过构造满足 μ₂(H) = d 且 m(H) = d/t 的 d-正则多重图，表明因子 m(G) 无法被更小的连通性函数所替代。