[论文解读] Algebraic construction of contragradient quasi-Verma modules in positive characteristic

Sergey Arkhipov|ArXiv.org|May 5, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过将它们实现为旗流形上的上局部上同调群，提供了在正特征下对余梯度拟-Verma模的代数构造。它建立了量子BGG复形与整体Grothendieck-Cousin复形之间的同构，通过一个典范模映射证明了它们的微分一致，从而补全了早期表示论证明中缺失的一环。

ABSTRACT

In the present paper we investigate a new class of infinite-dimensional modules over the hyperalgebra of a semi-simple algebraic group in positive chararacteristic called quasi-Verma modules. We provide a purely algebraic construction of the global Grothendieck-Cousin complex corresponding to the standard line bumdle ${\mathcal L}(λ)$ on the Flag variety of the algebraic group stratified by Schubert cells. We prove that the complex consists of direct sums of quasi-Verma modules for the highest weights of the form $w\cdotλ$ for various elements $w$ of the Weyl group.

研究动机与目标

• 填补Arkhipov（2001）中命题3.7.1(ii)证明中的空白，特别是量子复形与几何复形之间的比较。
• 在正特征下，对旗流形上的整体Grothendieck-Cousin复形提供一个代数实现。
• 在Schubert胞腔上，建立余梯度拟-Verma模与上局部上同调群之间的同构。
• 证明在正特征下，量子BGG复形与几何Cousin复形的微分通过一个典范同构一致。

提出的方法

• 将超代数 $\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})$ 上的左半正则模 $\mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p}$ 定义为上局部上同调 $H^{\operatorname{codim}N_w}_{N_{w,\overline{\mathbb{F}}_p}}(G_{\overline{\mathbb{F}}_p}, \mathcal{O}_{G_{\overline{\mathbb{F}}_p}})$。
• 将余梯度拟-Verma模 $\mathbb{D}\widetilde{M}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w\cdot\lambda)$ 构造为张量积 $\mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p} \otimes_{\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})} M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda)$。
• 利用核函子 $S_w$ 和扭函子 $T_w$，在范畴 $\mathcal{O}$ 上定义函子 $\Theta_w$，其在导出范畴中诱导自同构。
• 建立一个典范的 $\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})$-模映射 $\alpha$，从 $\mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p} \otimes M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda)$ 到余诱导模 $\operatorname{S-Coind}_{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w(\mathfrak{b}^+))}^{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})}(\overline{\mathbb{F}}_p(\lambda))$。
• 通过一个典范识别以及从 $M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda)$ 到同态空间的自然映射的存在性，证明映射 $\alpha$ 是同构。
• 比较量子复形与几何复形中的子模格，通过引理5.4.9表明二者一致，从而推出微分一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖几何上同调的前提下，代数地构造正特征下的余梯度拟-Verma模？
• RQ2 上局部上同调群 $H^{\ell(w)}_{C_{ww_0,\overline{\mathbb{F}}_p}}(\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{F}}_p}, \mathcal{L}(\lambda))$ 的精确代数实现是什么？
• RQ3 是否存在量子BGG复形 $\mathbb{D}B^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ 与整体Grothendieck-Cousin复形 $K^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ 之间的典范同构？
• RQ4 在所提议的同构下，这两个复形的微分是否一致？
• RQ5 能否证明量子复形中的子模格与几何格一致，从而确保微分相容性？

主要发现

• 余梯度拟-Verma模 $\mathbb{D}\widetilde{M}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w\cdot\lambda)$ 同构于上局部上同调群 $H^{\ell(w)}_{C_{ww_0,\overline{\mathbb{F}}_p}}(\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{F}}_p}, \mathcal{L}(\lambda))$，从而建立了几何上同调的代数实现。
• 典范映射 $\alpha: \mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p} \otimes M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda) \to \operatorname{S-Coind}_{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w(\mathfrak{b}^+))}^{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})}(\overline{\mathbb{F}}_p(\lambda))$ 是 $\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})$-模的同构。
• 在所有 $w \in W$ 下，$M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ 中的子模格 $\operatorname{Im}(\widetilde{M}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w\cdot\lambda))$ 与 $\operatorname{Im}(M^w_{\mathcal{A}}(w\cdot\lambda) \otimes_{\mathcal{A}} \overline{\mathbb{F}}_p)$ 一致，如引理5.4.9所述。
• 复形 $\mathbb{D}B^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ 与 $K^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ 中的微分通过典范同构一致，从而证明了定理5.4.2。
• 量子BGG复形 $\mathbb{D}B^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ 同构于旗流形上以 $\mathcal{L}(\lambda)$ 为系数的整体Grothendieck-Cousin复形，完成了两者的比较。