[论文解读] Algebraic curves uniformized by congruence subgroups of triangle groups

Pete L. Clark, John Voight|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文引入双曲三角群的同余子群，并构造由这些群一致化的伽罗瓦贝利曲线，实现了 PSL₂(𝔽ₚ) 和 PGL₂(𝔽ₚ) 作为数域上的正规伽罗瓦群。关键贡献在于确定这些曲线的模域与有理性域，表明它们定义在由有理角余弦值生成的数域的至多二次扩张上。

ABSTRACT

We construct certain subgroups of hyperbolic triangle groups which we call "congruence" subgroups. These groups include the classical congruence subgroups of SL_2(ZZ), Hecke triangle groups, and 19 families of arithmetic triangle groups associated to Shimura curves. We determine the field of moduli of the curves associated to these groups and thereby realize the groups PSL_2(q) and PGL_2(q) regularly as Galois groups.

研究动机与目标

• 定义并研究双曲三角群内一类新的同余子群，推广经典模曲线。
• 研究由这些子群一致化的伽罗瓦贝利曲线的存在性及其算术性质。
• 确定此类曲线的模域与有理域，特别是当伽罗瓦群为 PSL₂(𝔽ₚ) 或 PGL₂(𝔽ₚ) 时。
• 通过这些构造在数域上实现 PSL₂(𝔽ₚ) 和 PGL₂(𝔽ₚ) 作为正规伽罗瓦群。
• 探讨弱刚性与弗罗贝尼乌斯作用在决定这些曲线定义域中的作用。

提出的方法

• 通过角度为 (0, π/2, π/n) 的双曲反射三角形定义三角群，推广赫克与经典模群。
• 利用迹域与整数环上的算术条件，引入这些三角群的“同余”子群。
• 运用贝利映射与三枝分支覆盖理论，构造具有单值群 PSL₂(𝔽ₚ) 或 PGL₂(𝔽ₚ) 的 ℙ¹ 上的伽罗瓦覆盖。
• 应用类域论与弗罗贝尼乌斯元素，分析由余弦值生成的域 E(a,b,c)、F(a,b,c) 与 D(a,b,c) 中素数的分裂行为。
• 通过伽罗瓦下降与绝对伽罗瓦群作用，计算模域 M(X) 与对 (X,G) 的模域。
• 使用显式曲线方程与 j-不变量验证域扩张，并检验关于有理性与同源不变量的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些双曲三元组 (a,b,c) 与素数 p，三角群的同余子群会生成具有单值群 PSL₂(𝔽ₚ) 或 PGL₂(𝔽ₚ) 的伽罗瓦贝利曲线？
• RQ2 此类曲线 X 的模域 M(X) 是什么？它与基域 E(a,b,c) 及其扩张有何关系？
• RQ3 模域 M(X) 何时等于有理域？何时需要二次扩张？
• RQ4 F(a,b,c) 中素数 p 的分裂行为如何决定伽罗瓦群是 PSL₂(𝔽ₚ) 还是 PGL₂(𝔽ₚ)？
• RQ5 弱刚性失效是否会导致模域中出现非平凡域扩张？这在显式曲线方程中如何体现？

主要发现

• 对于双曲三元组 (a,b,c) 与 E(a,b,c) 中在 F(a,b,c) 内非分歧的素数 p，若 p 在 F(a,b,c) 中完全分裂，则存在 G-伽罗瓦贝利映射，满足 G ≅ PSL₂(𝔽ₚ)；否则 G ≅ PGL₂(𝔽ₚ)。
• 曲线 X(a,b,c;p) 的模域 M(X) 至多是 E(a,b,c) 的二次扩张，且在 (3,4,7;7) 情况下为 ℚ(√2)。
• 对 (X,G) 的模域，记作 M(X,G)，在曲线 X(3,4,7;7) 上为 M(X)(√−7)，该域为 ℚ(√2,√−7)。
• 对于三元组 (3,5,6;11)，模域 M(X) 是 ℚ(√5) 的至多二次扩张，且曲线 X₀(3,5,6;11) 的亏格为 2。
• 由 A₅ ≤ PSL₂(𝔽₁₁) 导出的 X(3,5,6;11) 的椭圆曲线商定义在 ℚ(√3,√5,√β) 上，其中 β 满足判别式为 N(β) = 11² 的二次方程。
• 该椭圆曲线的 j-不变量生成域 ℚ(√5,√3,√β)，确认模域非平凡，且与定理 A 的理论预测一致。