[论文解读] Algebraic Cycles, Fundamental Group of a Punctured Curve, and Applications in Arithmetic

Payman Eskandari|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文将在带 puncture 的曲线上的迭代积分与代数循环之间的几何与算术联系推广到更高权重。它在 $X^{2n-1}$ 上构造了实现基本群的幂零余部的混合 Hodge 扩张 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 的零同调代数循环，证明这些扩张唯一地确定了 puncture 点 $\infty$。算术应用将雅可比簇上的 $K$-有理点与代数循环相关联，其中挠点诱导出非平凡的周期关系。

ABSTRACT

The results of this paper can be divided into two parts, geometric and arithmetic. Let $X$ be a smooth projective curve over $\mathbb{C}$, and $e,\infty\in X(\mathbb{C})$ be distinct points. Let $L_n$ be the mixed Hodge structure of functions on $π_1(X-\{\infty\},e)$ given by iterated integrals of length $\leq n$ (as defined by Hain). In the geometric part, inspired by a work of Darmon, Rotger, and Sols, we express the mixed Hodge extension $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$ given by the weight filtration on $\frac{L_n}{L_{n-2}}$ in terms of certain null-homologous algebraic cycles on $X^{2n-1}$. As a corollary, we show that the extension $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$ determines the point $\infty\in X-\{e\}$. The arithmetic part of the paper gives some number-theoretic applications of the geometric part. We assume that $X=X_0\otimes_K\mathbb{C}$ and $e,\infty\in X_0(K)$, where $K$ is a subfield of $\mathbb{C}$ and $X_0$ is a projective curve over $K$. Let $Jac$ be the Jacobian of $X_0$. We use the extension $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$ to associate to each $Z\in CH_{n-1}(X_0^{2n-2})$ a point $P_Z\in Jac(K)$, which can be described analytically in terms of iterated integrals. The proof of $K$-rationality of $P_Z$ uses that the algebraic cycles constructed in the geometric part of the paper are defined over $K$. Assuming a certain plausible hypothesis on the Hodge filtration on $L_n(X-\{\infty\},e)$ holds, we show that an algebraic cycle $Z$ for which $P_Z$ is torsion, gives rise to relations between periods of $L_2(X-\{\infty\},e)$. Interestingly, these relations are non-trivial even when one takes $Z$ to be the diagonal of $X_0$. The geometric result of the paper in $n=2$ case, and the fact that one can associate to $\mathbb{E}^\infty_{2,e}$ a family of points in $Jac(K)$, are due to Darmon, Rotger, and Sols. Our contribution is in generalizing the picture to higher weights.

研究动机与目标

• 将迭代积分与代数循环之间的几何与算术联系从权重 2 推广到更高权重 $n \geq 2$。
• 在 $X^{2n-1}$ 上显式构造实现混合 Hodge 扩张 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 的零同调代数循环。
• 证明扩张 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 唯一地确定了 puncture 点 $\infty \in X - \{e\}$。
• 通过迭代积分，将雅可比簇 $\mathrm{Jac}(K)$ 上的 $K$-有理点与 $X_0^{2n-2}$ 中的代数循环相关联。
• 证明图像中的挠点对应于 $L_2(X - \{\infty\}, e)$ 的周期之间非平凡的关系，即使对于对角循环也是如此。

提出的方法

• 通过长度 $\leq n$ 的迭代积分，利用 Chen 理论在幂零基本群 $\pi_1(X - \{\infty\}, e)$ 上构造混合 Hodge 结构 $L_n$。
• 将扩张 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 定义为权过滤商 $\frac{L_n}{L_{n-2}}$，并赋予其混合 Hodge 结构。
• 通过 $X^{n-1}$ 到 $X^n$ 的对角嵌入，构造 $X^{2n-1}$ 上的代数循环 $\Delta_{n,e}$ 和 $Z^{\infty}_{n,e}$，以表示扩张 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$。
• 应用 Abel-Jacobi 映射，将每个循环 $Z \in \mathrm{CH}_{n-1}(X_0^{2n-2})$ 关联到一点 $P_Z \in \mathrm{Jac}(K)$，该点通过迭代积分解析描述。
• 利用对 $L_n(X - \{\infty\}, e)$ 的 Hodge 滤子的假设，证明挠点 $P_Z$ 暗示 $L_2(X - \{\infty\}, e)$ 的周期之间存在关系。
• 在椭圆曲线情形下无条件证明：此类周期关系存在当且仅当 $e - \infty$ 是挠点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将从权重 2 推广到更高权重 $n \geq 3$ 的迭代积分与代数循环之间的几何构造？
• RQ2 混合 Hodge 扩张 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 是否唯一地确定了带 puncture 的曲线上的 puncture 点 $\infty$？
• RQ3 如何利用 Hodge 理论的扩张 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 在定义在 $K$ 上的曲线的雅可比簇上生成 $K$-有理点？
• RQ4 当关联点 $P_Z$ 是挠点时，会产生哪些周期关系？这些关系如何依赖于循环 $Z$？
• RQ5 在椭圆曲线情形下，由对角循环诱导的周期关系的存在性是否等价于 $e - \infty$ 是挠点？

主要发现

• 扩张 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 通过 $X^{2n-1}$ 上的零同调代数循环 $Z^{\infty}_{n,e}$ 几何实现，该循环通过 $X^{n-1}$ 的对角嵌入构造。
• 作为几何构造的推论，扩张 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 唯一地确定了 puncture 点 $\infty \in X - \{e\}$。
• 对每个 $Z \in \mathrm{CH}_{n-1}(X_0^{2n-2})$，该构造产生一个 $K$-有理点 $P_Z \in \mathrm{Jac}(K)$，其通过迭代积分解析描述。
• 在 Hodge 滤子假设下，挠点 $P_Z$ 暗示 $L_2(X - \{\infty\}, e)$ 的周期之间存在非平凡关系，即使 $Z$ 是 $X_0$ 的对角循环也是如此。
• 在亏格一情形下，由对角循环诱导的周期关系存在当且仅当 $e - \infty$ 是挠点，且该结论无条件成立。