[论文解读] Algebraic cycles on a generalized Kummer variety

Ze Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 16

一句话总结

本文计算了与复阿贝尔曲面相关的广义Kummer簇的Chow动机，证明其属于由阿贝尔曲面动机生成的刚性张量子范畴。关键结果是一个典范同构，将广义Kummer簇的动机表示为阿贝尔簇商的动机的Tate扭的直和，该结果表明这些簇的乘积满足Hodge猜想，且所有数值平凡的1-循环均为smash-零化。

ABSTRACT

We compute explicitly the Chow motive of any generalized Kummer variety associated to any abelian surface. In fact, it lies in the rigid tensor subcategory of the category of Chow motives generated by the Chow motive of the underlying abelian surface. One application of this calculation is to show that the Hodge conjecture holds for arbitrary products of generalized Kummer varieties. As another application, all numerically trivial 1-cycles on arbitrary products of generalized Kummer varieties are smash-nipotent.

研究动机与目标

• 计算与复阿贝尔曲面相关的广义Kummer簇的Chow动机。
• 证明广义Kummer簇的任意乘积均满足Hodge猜想。
• 证明广义Kummer簇乘积上所有数值平凡的1-循环均为smash-零化。

提出的方法

• 通过映射 $α = \sigma \circ \pi$ 构造广义Kummer簇 $K^{[n]}$ 的自然分层，得到由分拆 $\lambda \in P(n)$ 和挠点 $\tau \in A[e(\lambda)]$ 索引的分层。
• 定义正规化映射 $K_{\tau}^{(\lambda)} \to \overline{K}_{\lambda,\tau}^{(n)}$，其中 $K_{\tau}^{(\lambda)}$ 是阿贝尔簇商的挠平移。
• 利用分解定理和对应关系的拓扑实现，构造对角线 $\Delta_{K^{[n]}}$ 的显式分解，表示为正交幂等元的直和。
• 建立Chow动机的典范同构：$h(K^{[n]}) \cong \bigoplus_{\lambda \in P(n)} \bigoplus_{\tau \in A[e(\lambda)]} h(K_{\tau}^{(\lambda)}) \otimes \mathbb{L}^{n - \ell(\lambda)}$，其中 $\mathbb{L}$ 为Lefschetz动机。
• 将此结果精化为 $A \times K^{[n]}$ 的动机同构：$h(A \times K^{[n]}) \cong \bigoplus_{\lambda, \tau} h(A^{(\lambda)}) \otimes \mathbb{L}^{n - \ell_{\lambda}}$，从而改进了 [GS93] 中的结果。
• 应用动机分解及阿贝尔簇上1-循环的已知结果，推导出广义Kummer簇乘积上数值平凡1-循环的smash-零化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Kummer簇的Chow动机是否属于由其底层面阿贝尔曲面动机生成的刚性张量子范畴？
• RQ2 广义Kummer簇的任意乘积是否满足Hodge猜想？
• RQ3 广义Kummer簇乘积上所有数值平凡的1-循环是否均为smash-零化？

主要发现

• 广义Kummer簇 $K^{[n]}$ 的Chow动机同构于阿贝尔簇商的动机的Tate扭的直和：$h(K^{[n]}) \cong \bigoplus_{\lambda \in P(n)} \bigoplus_{\tau \in A[e(\lambda)]} h(K_{\tau}^{(\lambda)}) \otimes \mathbb{L}^{n - \ell(\lambda)}$。
• $A \times K^{[n]}$ 的动机具有精化分解：$h(A \times K^{[n]}) \cong \bigoplus_{\lambda, \tau} h(A^{(\lambda)}) \otimes \mathbb{L}^{n - \ell_{\lambda}}$，该结果精炼了 [GS93] 中的Hodge理论公式。
• 广义Kummer簇的乘积 $K_1^{[n_1]} \times \cdots \times K_r^{[n_r]}$ 满足Hodge猜想，因为其动机由阿贝尔曲面的动机构建，而阿贝尔曲面的乘积满足Hodge猜想。
• 广义Kummer簇乘积上所有数值平凡的1-循环均为smash-零化，通过约化至阿贝尔簇商上的1-循环并应用 [Seb13] 中的结果得以证明。
• 动机分解表明，此类乘积上1-循环的Chow群是阿贝尔簇乘积的Chow群的直和，其中数值平凡的循环亦为代数平凡。
• 该结果在广义Kummer簇乘积的情形下证实了Voevodsky关于1-循环smash-零化性的猜想。