[论文解读] Algebraic cycles on the relative symmetric powers and on the relative Jacobian of a family of curves. II

B.J. Moonen, Alexander Polishchuk|ArXiv.org|May 23, 2008

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过庞特里亚金积结构，建立了曲线族的无限相对对称幂的查尔斯同调与查尔斯雅可比同调上的PD-多项式代数之间的典范同构。关键结果为 $\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S) \cong \operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle$，其中存在两个不同的同构，其差异由类 $\psi$ 决定，且引入了一种新的查尔斯同调 $\operatorname{CH}_{*}(J/S)$ 的分次结构，该结构在乘法-by-$N$ 映射作用下保持稳定，且不同于博伊莱夫的分解。

ABSTRACT

Let C be a curve over a non-singular base variety S. We study algebraic cycles on the symmetric powers C^[n] and on the Jacobian J. The Chow homology of C^[*], the sum of all C^[n], is a ring using the Pontryagin product. We prove that this ring is isomorphic to CH(J)[t], the PD-polynomial algebra (variable: u) over the usual polynomial ring (variable: t) over the Chow ring CH(J). We give two such isomorphisms that over a general base are different. Further we give some precise results on how CH(J) sits embedded in CH(C^[*]) and we give an explicit geometric description of how the derivations with regard to t and u act. Our results give rise to a new grading on the Chow ring of the Jacobian. After tensoring with Q the associated descending filtration coincides with the one coming from Beauville's decomposition. The grading we obtain is in general different from Beauville's. Finally we give a version of our main result for tautological classes, and we show how our methods give a very simple and geometric proof of some relations obtained by Herbaut and van der Geer-Kouvidakis.

研究动机与目标

• 理解基底 $S$ 上一族曲线的相对对称幂 $C^{[n]}$ 与相对雅可比同调 $J$ 上代数循环的结构。
• 在无限对称幂 $C^{[\bullet]}$ 的查尔斯同调与雅可比同调的查尔斯同调上的PD-多项式代数之间建立环同构。
• 在 $\operatorname{CH}_{*}(J/S)$ 上定义一种新的分次结构，使其在乘法-by-$N$ 映射作用下保持稳定，且不同于博伊莱夫的分解。
• 通过几何方法重新证明此前通过上同调或傅里叶对偶性方法获得的典型关系。

提出的方法

• 利用庞特里亚金积在 $\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$ 上赋予双分次环结构。
• 构造两个不同的同构 $\tilde{\beta}, \tilde{\gamma}: \operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle \xrightarrow{\sim} \operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$，其差异由类 $\psi = p_0^*K$ 决定，其中 $K$ 为相对典范类。
• 通过第一部分中几何定义的算子 $P_{i,j}(a)$ 明确描述算子 $\partial_t^{[m]}$ 与 $\partial_u$ 在查尔斯同调上的作用。
• 应用马宁原理，将同构在 $S$ 上的查尔斯动机的ind-范畴中进行动机化解释，得到 $R_*(J/S)[\mathbf{1}]\langle\mathbf{1}(1)\rangle \cong R_*(C^{[\bullet]}/S)$。
• 通过证明同构与相关理想上PD-结构的相容性，利用 $\psi$-挠被控制且PD-结构在光滑拟射影基底背景下自然成立的事实，完成证明。
• 利用对称函数与牛顿恒等式，在线性系统满足特定条件时，推导出 $\operatorname{CH}_0(C^{[N]})_{\mathbb{Q}}$ 与 $\operatorname{CH}_0(J)_{\mathbb{Q}}$ 中的消去结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在庞特里亚金积下，无限相对对称幂 $C^{[\bullet]}$ 的查尔斯同调如何作为环结构组织？
• RQ2 相对雅可比同调 $J$ 的查尔斯同调与对称幂 $C^{[n]}$ 的查尔斯同调之间存在何种精确关系？
• RQ3 能否在 $\operatorname{CH}_{*}(J/S)$ 上定义一种在乘法-by-$N$ 映射作用下保持稳定且不同于博伊莱夫分解的新分次结构？
• RQ4 算子 $\partial_t^{[m]}$ 与 $\partial_u$ 如何作用于查尔斯同调，其几何意义为何？
• RQ5 能否通过几何的、动机论的论证重新获得赫布陶与范德吉尔-科维达基斯的典型关系？

主要发现

• 查尔斯同调 $\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$ 同构于 $\operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle$，即 $\operatorname{CH}_{*}(J/S)$ 上关于 $t$ 的多项式代数与关于 $u$ 的PD-多项式代数的复合，具有整系数且与PD-结构相容。
• 存在两个不同的同构 $\tilde{\beta}, \tilde{\gamma}$，从 $\operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle$ 到 $\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$，其差异由类 $\psi = p_0^*K$ 决定，该类在一般情况下非零。
• $\operatorname{CH}_{*}(J/S)$ 到 $\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$ 的嵌入并非典范，其依赖于同构的选择，反映出与相对典范类相关的几何模糊性。
• 定义了一种新的 $\operatorname{CH}_{*}(J/S)$ 分次结构，使得相应的降下过滤在所有 $[N]_*$ 映射作用下保持稳定，且在与 $\mathbb{Q}$ 张量化后，$[N]_*$ 在第 $m$ 个分次部分上作用为乘以 $N^m$。
• 该新分次结构不同于博伊莱夫的分解，且两者通过傅里叶对偶性相关联。
• 本文给出了赫布陶与范德吉尔-科维达基斯典型关系的几何证明，表明当 $C$ 在 $k$ 上存在一个 $g^r_d$ 且 $N > d$ 时，在 $A_*(J)_{\mathbb{Q}}$ 中有 $\sum_{n_1+\cdots+n_r=N} (n_1-1)!\cdots(n_r-1)! \cdot \mathrm{cw}_{n_1}(C)*\cdots*\mathrm{cw}_{n_r}(C) = 0$。