[论文解读] Algebraic degrees for iterates of meromorphic self-maps of $¶^k$

Viêt‐Anh Nguyên|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 16

一句话总结

本文引入了$ℝ^k$上的拟代数稳定（QAS）亚纯自映射，其为代数稳定映射的严格超集，并证明其迭代具有递归提升结构。该结构使得迭代的代数次数可精确计算，且表明第一动力度量始终为代数整数。

ABSTRACT

We first introduce the class of quasi-algebraically stable meromorphic maps of $¶^k.$ This class is strictly larger than that of algebraically stable meromorphic self-maps of $¶^k.$ Then we prove that all maps in the new class enjoy a recurrent property. In particular, the algebraic degrees for iterates of these maps can be computed and their first dynamical degrees are always algebraic integers.

研究动机与目标

• 定义并研究$ℝ^k$上的新一类亚纯自映射——拟代数稳定（QAS）映射，其为代数稳定映射的推广。
• 解决非代数稳定映射迭代代数次数计算的挑战，此类映射不满足简单的次数增长关系$ \operatorname{d}(f^n) = \operatorname{d}(f)^n$。
• 建立QAS映射的递归提升律，使得可精确计算$ \operatorname{d}(f^n)$，并证明第一动力度量$ \lambda_1(f)$为代数整数。
• 通过识别一类使次数序列可处理的映射，将格林当前理论框架扩展至非代数稳定映射。

提出的方法

• 将QAS映射定义为$ℝ^k$上的亚纯自映射，其迭代提升$F_n$在延迟$n_0$后满足涉及齐次多项式$H_0$除法的递推关系。
• 通过$F_n = \frac{F_1 \circ F_{n-1}}{H_0 \circ F_{n-n_0-1}}$（当$n > n_0$时）构造一系列提升$F_n$，推广了代数稳定映射的标准复合律。
• 利用由提升律导出的递推关系的特征多项式，分析代数次数序列$ \operatorname{d}(f^n)$。
• 证明第一动力度量$ \lambda_1(f)$为递推关系特征多项式的谱半径，通过特征多项式根的分析表明其为实代数整数。
• 运用复动力系统工具，包括上拉作用在当前上的行为及动力度量理论，将递推关系与次数渐近增长联系起来。
• 将主要定理应用于具体例子，通过线性递推解法推导出$ \operatorname{d}(f^n)$的闭式表达及$ \lambda_1(f)$的精确值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一个比代数稳定映射更广的$ℝ^k$亚纯自映射类，使得其迭代的代数次数可计算？
• RQ2 何种递推结构控制非代数稳定映射的迭代提升，且其次数增长具有可处理性？
• RQ3 对于代数稳定类之外的映射，第一动力度量$ \lambda_1(f)$是否仍为代数整数？
• RQ4 能否将格林当前构造扩展至满足$ \operatorname{d}(f^n) \neq \operatorname{d}(f)^n$但次数序列满足线性递推的映射？
• RQ5 控制QAS映射$ \operatorname{d}(f^n)$渐近行为的特征多项式及其根的精确形式为何？

主要发现

• 拟代数稳定（QAS）亚纯自映射类在$ℝ^k$上严格包含代数稳定映射类。
• 对于QAS映射，代数次数$ \operatorname{d}(f^n)$满足由涉及齐次多项式除法的改进提升律导出的线性递推关系。
• 第一动力度量$ \lambda_1(f)$恒为代数整数，因其等于递推关系特征多项式的谱半径。
• 在例3.5中，$ \operatorname{d}(f^n) = n+1$且$ \lambda_1(f) = 1$，次数序列满足$ \operatorname{d}(f^n) - 2\operatorname{d}(f^{n-1}) + \operatorname{d}(f^{n-2}) = 0$。
• 在例3.7中，$ \operatorname{d}(f^n) = \frac{1}{\sqrt{29}}\left(\left(\frac{7+\sqrt{29}}{2}\right)^{n+1} - \left(\frac{7-\sqrt{29}}{2}\right)^{n+1}\right)$，且$ \lambda_1(f) = \frac{7+\sqrt{29}}{2}$。
• 证明表明$ \lambda_1(f)$为特征多项式的主根，其实性与代数性由对称性及根主导性论证得出。