[论文解读] Algebraic derivation of Kramers-Pasternack relations based on the Schrodinger factorization method

Tomasz Szymanski, J. K. Freericks|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2020

Advanced Physical and Chemical Molecular Interactions参考文献 6被引用 32

一句话总结

论文通过薛定谔因式分解代数推导 Kramers-Pasternack 关系，并在不使用 Feynman-Hellman 或暴力积分的情况下计算第二个反矩，实现在氢原子径向矩的全递推。

ABSTRACT

The Kramers-Pasternack relations are used to compute the moments of r (both positive and negative) for all radial energy eigenfunctions of hydrogenic atoms. They consist of two algebraic recurrence relations, one for positive powers and one for negative. Most derivations employ the Feynman-Hellman theorem or a brute-force integration to determine the second inverse moment, which is needed to complete the recurrence relations for negative moments. In this work, we show both how to derive the recurrence relations algebraically and how to determine the second inverse moment algebraically, which removes the pedagogical confusion associated with differentiating the Hamiltonian with respect to the angular momentum quantum number l in order to find the inverse second moment.

研究动机与目标

• 用代数方法动机并澄清使用氢原子计算所有径向矩的过程。
• 以代数方式推导两条 Pasternack 关系（正矩和逆矩）。
• 提供纯粹的基于算符的方法，在不对 l 求导的情况下获得第二逆矩。

提出的方法

• 使用 Schrödinger 因式分解构造横向算符 B_l 及哈密顿量 H_l 之间的 intertwining 关系。
• 采用广义虚拟定理的形式 <[O,H_l]>=0 来推导正矩的 Kramers-Pasternack 关系（式 (Eq. 2)）。
• 通过将 B_l 和 B_l^† 通过 r^-2 移动并利用 intertwining 关系（式 (Eqs. 23-28)）来建立计算第二逆矩的代数过程。
• 通过一系列在 l 和 n 中的递推链，代数地确定 <n,l|1/r^2|n,l>，并给出显式表达式（式 (Eq. 43)）。
• 利用从属条件 B_{n-1}|n,n-1>=0 来固定右侧矩（式 (Eq. 39-42)）。
• 展示如何通过 Pasternack 反演关系（式 (Eq. 45-46)）将高阶逆矩与正、负矩联系起来，从而获得更高的逆矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kramers-Pasternack 关系是否可以纯代数推导，而不需要 Feynman-Hellman 定理或直接的 Laguerre 多项式积分？
• RQ2 如何在 Schrödinger 因式分解框架内以代数方式计算第二逆矩 ⟨n,l|1/r^2|n,l⟩？
• RQ3 代数方法是否可扩展，通过递推关系获得氢原子态的所有逆径向矩和正径向矩？
• RQ4 intertwining 关系 和 从属条件在确定所有简并的氢原子态及其矩方面起什么作用？

主要发现

• 通过 Schrödinger 因式分解和广义虚拟定理成功地推导出两条 Pasternack 关系。
• 一种代数方法给出 ⟨n,l|1/r^2|n,l⟩ = 1/(a_0^2 n^3 (l+1/2))（式 (Eq. 43)）。
• 第二逆矩使得完成负矩递推成为可能，无需暴力积分或对 l 求导。
• 推导出一个递推关系，将 ⟨n,l|1/r^2|n,l⟩ 与 ⟨n,l+1|1/r^2|n,l+1⟩（式 (Eq. 34)）联系起来，并迭代到端态（式 (Eq. 36)）。
• 这些方程提供了一条通过式 (Eq. 22) 和 式 33–46 来计算更高逆矩的路径，将正矩和负矩联系起来（式 (Eq. 45–46)）。
• 该方法凸显了使用算符方法在教学上对氢模型径向矩的清晰性。