[论文解读] Algebraic distance for anisotropic diffusion problems: multilevel results

Achi Brandt, James Brannick+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用 11

一句话总结

本文提出一种基于最小二乘法松弛测试向量的代数距离度量方法，用于在各向异性扩散问题的代数多重网格（AMG）方法中定义连接强度。该方法实现了鲁棒、无需参数调节的粗化与插值，能自适应捕捉非结构网格对齐的各向异性，无需调参即可在各种各向异性方向上实现可扩展的多重网格收敛。

ABSTRACT

In this paper we motivate, discuss the implementation and present the resulting numerics for a new definition of strength of connection which is based on the notion of algebraic distance. This algebraic distance measure, combined with compatible relaxation, is used to choose suitable coarse grids and accurate interpolation operators for algebraic multigrid algorithms. The main tool of the proposed measure is the least squares functional defined using a set of relaxed test vectors. The motivating application is the anisotropic diffusion problem, in particular problems with non-grid aligned anisotropy. We demonstrate numerically that the measure yields a robust technique for determining strength of connectivity among variables, for both two-grid and multigrid solvers. %We illustrate the use of the measure to construct, in addition, an adaptive aggregation form of interpolation for the targeted anisotropic problems. %Our approach is not a two-level approach -- we provide preliminary results that show its extendability to multigrid. The proposed algebraic distance measure can also be used in any other coarsening procedure, assuming a rich enough set of the near-kernel components of the matrix for the targeted system is known or computed.

研究动机与目标

• 解决经典AMG在非结构网格对齐的各向异性扩散问题中因依赖M-矩阵启发式方法而失效的问题。
• 开发一种不依赖矩阵符号结构或网格对齐的鲁棒连接强度度量方法。
• 在无需参数调优的情况下，实现对各向异性问题的有效粗网格选择与精确插值。
• 通过最小二乘插值与相容松弛方法，实现常系数各向异性扩散问题的可扩展多重网格收敛。
• 在已知或可计算近核分量的前提下，将该框架扩展至支持一般粗化过程。

提出的方法

• 通过在一组松弛测试向量上定义最小二乘泛函来定义代数距离，以量化变量连接性。
• 利用代数距离构建强度图，用于选择粗网格变量与插值模板。
• 将代数距离与相容松弛结合，以验证并优化连接强度定义。
• 基于代数距离度量与松弛向量构造最小二乘插值算子。
• 采用W-循环预处理设置，结合多步平滑处理，以计算用于插值与粗化的松弛向量与预处理向量。
• 在求解阶段采用非线性AMLI预条件化与灵活CG方法评估收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于最小二乘法最小化的代数距离能否为各向异性扩散问题提供鲁棒的连接强度度量？
• RQ2 所提出的方法是否能在无需参数调优的情况下，对非结构网格对齐的各向异性扩散问题实现可扩展的收敛？
• RQ3 当精细网格离散化与各向异性方向错位时，该方法表现如何？
• RQ4 相容松弛与最小二乘插值是否能共同确保在具有挑战性的各向异性情况下实现有效的粗网格近似？
• RQ5 在变系数各向异性问题中，插值精度（c）对收敛可扩展性有何影响？

主要发现

• 代数距离度量在非结构网格对齐的各向异性扩散问题中成功识别出强连接，实现了有效的粗网格选择。
• 对于常系数各向异性扩散问题（ε = 0.1），该方法在所有各向异性角度下均实现4–7次多重网格迭代，每次循环1.4–2.0次迭代。
• 即使在精细网格离散化错位（α = −π/4）时，该方法仍能构建适应真实各向异性方向的插值。
• 当ε = 0.0001时，该方法保持收敛，每次循环5–9次迭代，表明对高各向异性具有鲁棒性。
• 采用c = 2的最小二乘插值可实现常系数问题的近似最优多层性能。
• 该方法对问题规模的迭代次数依赖性较弱，表明在变系数情况下，可能需要更高精度插值（c > 2）以实现完全可扩展性。