[论文解读] Algebraic elliptic cohomology theory and flops, I

Marc Levine, Yaping Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文利用 motivic 同伦论构建了任意完美域上的代数椭圆上同调理论，并证明在具有理系数的代数 cobordism 环中，Krichever 椭圆亏格的核恰好是由经典 flop 差异生成的理想。该结果将 Totaro 的复分析定理推广至任意域，并证实与 flop 兼容的双有理不变量均由椭圆亏格所捕获。

ABSTRACT

We define the algebraic elliptic cohomology theory coming from Krichever's elliptic genus as an oriented cohomology theory on smooth varieties over an arbitrary perfect field. We show that in the algebraic cobordism ring with rational coefficients, the ideal generated by differences of classical flops coincides with the kernel of Krichever's elliptic genus. This generalizes a theorem of B. Totaro in the complex analytic setting.

研究动机与目标

• 在任意完美域上的光滑代数簇上，构造一个代数椭圆上同调理论，作为定向上同调理论。
• 将 Totaro 在复 cobordism 中关于椭圆亏格核的结果推广至任意特征的域上的代数设定。
• 证明在具有理系数的代数 cobordism 环中，经典 flop 差异生成的理想等于 Krichever 椭圆亏格的核。
• 通过 motivic 同伦论与 Landweber 正则性，建立该上同调理论的表示性。
• 将椭圆亏格的刚性与双有理不变性性质推广至完美域上的代数几何。

提出的方法

• 利用 motivic 同伦论，通过代数 cobordism 环谱 MGL，构造具有理系数的通用定向上同调理论。
• 将代数椭圆上同调理论定义为 MGL* ⊗_Laz Ell[1/2p]，其中 Ell[1/2p] 是系数环的 Landweber-正则扩张。
• 应用 Levine-Pandharipande 的双点 cobordism 构造，显式描述代数 cobordism 环中两个 flop 的差异。
• 利用 Krichever 椭圆亏格的刚性及其与 flop 的相容性，识别亏格映射的核。
• 使用 de Jong 的变换及 Gabber 的改进，处理正特征情形，确保存在度数在系数环中可逆的互素于 ℓ 的变换。
• 利用稳定 motivic 同伦范畴 SH(k) 及有限 étale 覆盖的自同态性质，证明必要的双有理不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完美域上的代数 cobordism 背景下，Krichever 椭圆亏格的代数类比是什么？
• RQ2 椭圆亏格在代数 cobordism 中的核能否通过如 flop 等几何操作来刻画？
• RQ3 在具有理系数的代数 cobordism 环中，经典 flop 差异生成的理想是否与任意完美域上椭圆亏格的核一致？
• RQ4 椭圆亏格的刚性能否通过 motivic 同伦论在代数上实现并证明？
• RQ5 是否存在一个 motivic 定向上同调理论，代表代数椭圆上同调，并在 Lazard 环上满足 Landweber 正则性？

主要发现

• 通过 MGL* ⊗_Laz Ell[1/2p] 定义的代数椭圆上同调理论，在任意完美域上的光滑代数簇上可表示为 motivic 定向上同调理论。
• 在具有理系数的代数 cobordism 环 MGL*Q(k) 中，椭圆亏格 φQ 的核恰好是由经典 flop 差异生成的理想。
• 椭圆亏格映射 φQ: MGL*Q(k) → Ell*Q(k) 的像是多项式环 Q[a1,a2,a3,a4]。
• 证明中使用双点 cobordism 显式给出了 flop 差异的代数描述，替代了 Totaro 的复分析证明中所用的拓扑构造。
• 通过使用 de Jong 的变换（其度数在系数环中可逆，得益于 Gabber 的改进），该结果在正特征下依然成立。
• 通过稳定 motivic 同伦范畴 SH(k) 中的自同态性质，结合 GW(k) 中的幂零性，证明了关键引理，确立了 flop 差异上椭圆亏格的消失。