[论文解读] Algebraic Foundations of Proof Refinement

Jonathan Sterling, Robert Harper|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出 Dependent LCF，一种用于依赖类型理论中基于策略的证明精炼的新型框架，支持依赖于先前证明证据的子目标。通过使用自然变换形式化精炼规则，并扩展 LCF 以支持序列化多策略，该系统实现了广度优先重复，消除了对非局部变量实例化的需要，成功解决了证明精炼中的依赖问题。

ABSTRACT

We contribute a general apparatus for dependent tactic-based proof refinement in the LCF tradition, in which the statements of subgoals may express a dependency on the proofs of other subgoals; this form of dependency is extremely useful and can serve as an algorithmic alternative to extensions of LCF based on non-local instantiation of schematic variables. Additionally, we introduce a novel behavioral distinction between refinement rules and tactics based on naturality. Our framework, called Dependent LCF, is already deployed in the nascent RedPRL proof assistant for computational cubical type theory.

研究动机与目标

• 解决 LCF 风格证明精炼中的依赖问题，即在依赖类型理论中，子目标依赖于先前子目标的证据。
• 通过使子目标能够表达对证明证据的依赖，消除对范型变量的非局部实例化需求。
• 基于自然性形式化区分精炼规则与策略，提升模块化与正确性。
• 在 Standard ML 中实现一个实用框架，支持双向类型检查和计算同伦类型理论中的复杂类型合成。

提出的方法

• 引入范畴论基础，使用自然变换来建模精炼规则与策略之间的行为差异。
• 定义一种精炼逻辑，其中子目标可依赖于早期子目标的证据，采用具有输入（蓝色）和输出（栗色）模式的序列式判断系统。
• 开发一种通用的序列化策略 'seq'，通过函子与自然变换的复合来组合策略。
• 使用 Capretta 的延迟单子构建递归策略的不动点组合子，通过多策略实现广度优先重复。
• 在 Standard ML 中实现该框架，采用基于多策略的重复策略，更有效地在子目标间传播替换。
• 将该框架应用于 RedPRL，实现在计算同伦类型理论中正确且模块化的证明精炼。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何扩展证明精炼以支持依赖于其他子目标证据的子目标？
• RQ2 自然性在区分精炼规则与策略中起什么作用？它如何提升模块化与正确性？
• RQ3 是否可以构建一种支持广度优先而非深度优先子目标处理的递归策略？
• RQ4 如何在不依赖非局部变量实例化的情况下解决 LCF 风格证明助手中的依赖问题？
• RQ5 能否构建一个统一的精炼与证据语义框架，支持双向类型检查和复杂类型合成？

主要发现

• 该框架通过允许子目标依赖于先前子目标的证据，成功解决了证明精炼中的依赖问题，消除了对非局部实例化的需要。
• 在精炼规则与策略之间引入自然性，实现了清晰的关注点分离，提升了组合式推理能力。
• 通过多策略实现的广度优先重复，确保了替换在子目标间更有效地传播，优于深度优先重复。
• 在 RedPRL 中的实现表明，借助足够强大的精炼机制，实用且可用的扩展类型理论系统是可行的。
• 该框架支持复杂的类型合成规则，类比于双向类型检查，且无需使用脆弱或复杂的策略。