[论文解读] Algebraic G-theory in motivic homotopy categories

Fangzhou Jin|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明了代数G-同调在不稳定和稳定 motivic 同伦范畴中均可表示，其与与K-理论相关的Borel-Moore motivic 同调相等同。关键贡献在于建立了K-理论的Borel-Moore理论与G-同调之间的自然同构，该同构与Quillen和Thomason的函子性结构相容，包括正规上推与光滑下拉（通过Gysin映射实现）。

ABSTRACT

We prove that algebraic G-theory in is representable in unstable and stable motivic homotopy categories; in the stable category we identify it with the Borel-Moore theory associated to algebraic K-theory, and show that such an identification is compatible with the functorialities defined by Quillen and Thomason.

研究动机与目标

• 在不稳定和稳定 motivic 同伦范畴中建立代数G-同调的可表示性。
• 在稳定范畴中，将G-同调与与K-理论相关的Borel-Moore motivic 同调相等同。
• 证明该相等同关系与Quillen和Thomason定义的函子结构（包括逆变函子与正规函子）相容。
• 通过motivic同伦理论，将Gysin态射与Chern特征映射的相容性推广至奇异概系。

提出的方法

• 通过概系上的空间范畴，构造不稳定 motivic 同伦范畴中G-同调的模型。
• 通过从概系的悬垂谱到一个普遍G-同调对象的映射谱，证明G-同调的可表示性。
• 对构造进行稳定化，从而在稳定 motivic 同伦范畴中获得谱级别的相等同。
• 利用六函子形式化与Borel-Moore理论的性质，将G-同调与具有有理系数的motivic上同调联系起来。
• 通过法丛的形变与边界映射，建立Gysin态射与逆变函子性之间的相容性。
• 利用六函子形式化与motivic谱，定义并验证Chern特征与正规及光滑函子的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 代数G-同调是否在不稳定 motivic 同伦范畴中可表示？
• RQ2 稳定 motivic 同伦范畴是否将G-同调实现为与K-理论相关的Borel-Moore理论？
• RQ3 G-同调与Borel-Moore K-同调的相等同是否与Quillen的逆变函子性相容？
• RQ4 在motivic设定下，该相容性是否在正规上推与光滑下拉下保持？
• RQ5 是否可不使用图构造，定义并证明从G-同调到有理Borel-Moore motivic 上同调的Chern特征映射与函子性的交换性？

主要发现

• 代数G-同调在不稳定和稳定 motivic 同伦范畴中均可表示。
• 在稳定范畴中，G-同调同构于与K-理论相关的Borel-Moore motivic 同调，且存在显式同构 $\mathbf{KGL}^{BM}_{n,m}(X/S) \simeq G_{n-2m}(X)$。
• Borel-Moore理论的正规函子性恰好对应于G-同调中的正规上推。
• Borel-Moore理论中lci态射的Gysin态射对应于G-同调的逆变函子性。
• Chern特征映射 $\mathrm{ch}: \mathbf{GGL} \to \oplus_{i\in\mathbb{Z}} \mathbf{H}\mathbb{Q}^{BM}(i)[2i]$ 与正规及光滑函子相容，将Fulde的Riemann-Roch定理推广至奇异概系。
• 该构造避免使用MacPherson的图方法，转而依赖motivic同伦理论与六函子形式化。