[论文解读] Algebraic Geometric codes from Kummer Extensions

Daniele Bartoli, Luciane Quoos+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文利用有限域上的Kummer扩张 $ y^m = f(x) $ 构造代数几何码，聚焦于多个有理点处的Weierstrass半群与纯间隙。提出了纯间隙的算术刻画，并构建了最小距离更优、Singleton缺陷更小的 $ n $-点AG码，尤其在Hermitian曲线码中显著优于已知界限。

ABSTRACT

For Kummer extensions defined by $y^m = f (x)$, where $f (x)$ is a separable polynomial over the finite field $\mathbb{F}_q$, we compute the number of Weierstrass gaps at two totally ramified places. For many totally ramified places we give a criterion to find pure gaps at these points and present families of pure gaps. We then apply our results to construct many points algebraic geometric codes with good parameters.

研究动机与目标

• 为有限域上Kummer扩张 $ y^m = f(x) $ 中多个有理点处的纯间隙提供刻画。
• 基于多个点处Weierstrass半群的算术条件，建立识别纯间隙的判别准则。
• 构造具有增强参数的 $ n $-点代数几何码，尤其在最小距离上超越Goppa界。
• 降低由Kummer曲线导出的AG码中的Singleton缺陷 $ \delta = n+1-k-d $。
• 通过Hermitian函数域上的显式构造，验证方法的有效性，显示在MinT表格之上取得改进。

提出的方法

• 利用多个有理点处的Weierstrass半群理论，分析Kummer扩张 $ y^m = f(x) $ 中的间隙与纯间隙。
• 应用广义Weierstrass半群理论，推导出在 $ s $ 个不同有理点处纯间隙的算术条件。
• 使用公式 $ \left\lfloor \frac{a_0 - rt}{m} \right\rfloor + \sum_{i=1}^s \left\lfloor \frac{a_i + t}{m} \right\rfloor < 0 $ 验证纯间隙条件。
• 通过 $ C_\Omega(D,G) $ 构造法构建 $ [n,k,d] $-码，其中 $ G = \sum (a_i + b_i - 1)P_i $，且 $ (a_i), (b_i) $ 为纯间隙。
• 计算维数 $ k = n + g - 1 - \deg G $，并应用Goppa界 $ d \geq \deg G - (2g - 2) $，结合纯间隙结构进行优化。
• 以Singleton缺陷 $ \delta = n+1-k-d $ 作为性能指标，通过纯间隙族推导其上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Kummer扩张 $ y^m = f(x) $ 中，两个完全分支的有理点处的Weierstrass间隙数量是多少？
• RQ2 在这些扩张中，$ s $ 个不同有理点处的纯间隙由何种算术条件刻画？
• RQ3 如何系统地在Kummer扩张中构造纯间隙，以改善AG码参数？
• RQ4 在 $ n $-点AG码中，最小距离可超越经典Goppa界的程度如何？
• RQ5 在由Kummer曲线构造的 $ n $-点码中，尤其是Hermitian函数域情形，Singleton缺陷能否被降低？

主要发现

• 对于满足 $ m = ur+1 $ 的Kummer扩张 $ y^m = f(x) $，两个完全分支有理点处的Weierstrass间隙数量被显式计算，推广了先前结果。
• 通过不等式 $ \left\lfloor \frac{a_0 - rt}{m} \right\rfloor + \sum_{i=1}^s \left\lfloor \frac{a_i + t}{m} \right\rfloor < 0 $ 建立了在 $ s $ 个有理点处纯间隙的判别准则，其中 $ t = 0, \dots, m-1 $。
• 构造了纯间隙族，包括 $ (a_1,\dots,a_s) = ((r-s-1)m+1,1,\dots,1) $ 和 $ (b_1,\dots,b_s) = ((r-s-1)m+su, (s-1)u, \dots, u) $。
• 对于在 $ s $ 个点处具有纯间隙的码，Singleton缺陷满足 $ \delta \leq \frac{ur(r-1) - us(s+1)}{2} $，显示优于标准界限。
• 在Hermitian曲线情形（$ q^2 $，$ r = q $，$ u = 1 $），所构造的码在最小距离上相比MinT表格最高提升达3单位，尤其在 $ s=2,3,4 $ 时表现显著。
• 例4.8表明，当 $ q=49 $，$ s=2 $ 时，码的参数为 $ n=342 $，$ k=295 $，$ d \geq 30 $，最小距离相比MinT表格提升3单位。