[论文解读] Algebraic-geometric matrix-free multigrid on dynamically adaptive Cartesian meshes.

Marion Weinzierl, Tobias Weinzierl|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文提出一种用于动态自适应笛卡尔网格的无矩阵多重网格求解器，通过在空间树层次结构中嵌入代数多重网格算子作为差分格式，实现无需显式矩阵组装的就地矩阵-向量运算。通过将算子以相对于几何对应物的差异形式分层表示，该方法实现了低内存开销，并通过多尺度区域分解支持并行计算。

ABSTRACT

We introduce a family of spacetree-based multigrid solvers that do not maintain a matrix data structure and rely on the spacetree's multiscale nature to derive coarse grids. The most sophisticated solvers from the family pick up the concept of BoxMG, which defines operator-dependent prolongation and restriction in combination with (Petrov-)Galerkin coarse grid operators. It yields robust solvers for nontrivial elliptic problems. We propose to embed the algebraic, problem- and grid-dependent multigrid operators as stencils into the grids, to evaluate all matrix-vector products in-situ throughout grid traversals, and, thus, to avoid assembly overhead that is notably cumbersome for dynamically adaptive grids. While such an approach is not literally matrix-free---the grid carries the matrix---we propose switch to a hierarchical two-scale representation of all operators. Only differences of algebraic operators to their geometric counterparts are held. These hierarchical differences can be held and exchanged with small memory footprint. Our solvers support arbitrary dynamically adaptive grids and vertically integrate the multilevel operations through spacetree linearisation which yields good memory access characteristics, while standard colouring of mesh entities with a multiscale domain decomposition allow us to run the scheme on parallel computers.

研究动机与目标

• 消除动态自适应笛卡尔网格多重网格求解器中的矩阵组装开销。
• 在非结构化自适应网格上实现复杂椭圆问题的鲁棒多重网格收敛。
• 通过多尺度区域分解和网格线性化，支持高效的并行计算。
• 通过仅存储代数算子与几何算子之间的差异，最小化内存使用。
• 在空间树数据结构内无缝集成多级运算。

提出的方法

• 该方法使用空间树表示多重网格层次结构，其中粗网格由树的多尺度结构导出。
• 在网格遍历过程中就地计算矩阵-向量乘积，避免显式存储矩阵。
• 代数算子以模板形式嵌入，并以相对于几何算子的差异形式分层表示。
• 求解器采用BoxMG风格的插值和限制算子，根据问题和网格特性进行定制。
• 采用两尺度表示，仅存储几何算子的代数校正，从而减少内存占用。
• 通过标准的网格实体着色和空间树线性化，实现并行执行，以支持聚合内存访问。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在无需矩阵组装的情况下，高效实现动态自适应笛卡尔网格上的无矩阵多重网格？
• RQ2 代数算子的分层表示是否能减少内存使用，同时保持求解器的鲁棒性？
• RQ3 基于空间树的多尺度结构如何支持鲁棒的粗网格转移算子？
• RQ4 与传统组装方法相比，就地矩阵-向量运算的性能影响如何？
• RQ5 该方法是否能通过多尺度区域分解在并行架构上实现高效扩展？

主要发现

• 该方法消除了显式矩阵组装，显著降低了动态自适应网格的开销。
• 代数算子的分层表示通过仅存储其与几何对应物的差异，显著减少了内存使用。
• 通过依赖问题和网格特性的插值与限制算子，求解器在非平凡椭圆问题上实现了鲁棒收敛。
• 空间树线性化实现了良好的内存访问模式，提升了缓存效率。
• 通过空间树实现多级运算的垂直集成，支持高效的并行执行。
• 该方法通过多尺度区域分解和实体着色，实现了在并行计算机上的可扩展性能。