[论文解读] Algebraic (geometric) $n$-stacks

Carlos Simpson|ArXiv.org|Sep 17, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 43

一句话总结

本文通过将阿廷关于代数1-堆的定义归纳推广至更高n维，利用n-堆范畴中的光滑态射，提出了一种代数（几何）n-堆的定义。关键贡献在于：在德拉姆上同调与平坦丛模空间的背景下，建立了几何n-堆的可表示性、高斯-马宁联络以及霍奇滤子。

ABSTRACT

We propose a generalization of Artin's definition of algebraic stack, which we call {\em geometric $n$-stack}. The main observation is that there is an inductive structure to the definition whereby the ingredients for the definition of geometric $n$-stack involve only $n-1$-stacks and so are already previously defined. We use this inductive structure to obtain some basic properties. We look at maps from a projective variety into certain such $n$-stacks, and obtain an interpretation of the Brill-Noether locus as the set of points of a geometric $n$-stack. At the end we explain how this provides a context for looking at de Rham theory for higher nonabelian cohomology, how one can define the Hodge filtration and so on.

研究动机与目标

• 通过将阿廷关于代数1-堆的定义推广至更高n维，形式化代数n-堆的理论。
• 基于n-堆之间的光滑态射，通过归纳结构定义几何n-堆。
• 证明几何n-堆在[Si5]意义下是可表示的，从而支持截断与庞特里亚金塔构造。
• 通过相对态射堆，将高斯-马宁联络与霍奇滤子推广至更高阶非交换上同调堆。
• 证明这些构造可推广至解析与代数设定，包括平坦丛模空间与德拉姆上同调。

提出的方法

• 通过要求从概形到n-堆存在光滑态射，并基于(n-1)-堆构建n-堆的结构，归纳地定义几何n-堆。
• 使用n-堆之间光滑态射的概念，推广1-堆情形，并通过提升性质定义几何态射。
• 通过[Si5]的框架，证明几何n-堆的可表示性，即其在同伦纤维积与截断下封闭。
• 通过沿德拉姆态射$X_{DR} \to S_{DR}$的拉回构造高斯-马宁联络，证明其可下移至$S_{DR}$。
• 对连通的非常可表示n-堆$T$，在$Hom(X_{DR}, T)$上定义霍奇滤子，推广经典德拉姆上同调。
• 通过$\overline{X}_{\rm Hod}(\log D) \to \overline{S}_{\rm Hod}(\log E)$，将构造推广至对数与紧化设定，统一格里菲斯横截性与正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于n-堆之间光滑态射的归纳结构，将阿廷关于代数1-堆的定义推广至更高阶n-堆？
• RQ2 几何n-堆在截断下是否封闭？是否需要更强的条件如可表示性？
• RQ3 高斯-马宁联络能否推广至更高阶非交换上同调堆$Hom(X_{DR}/S_{DR}, T)$，对一般n-堆$T$？
• RQ4 当$T = K({\cal O}, n)$或$T = BG$时，$Hom(X_{DR}, T)$上的霍奇滤子是否推广经典德拉姆上同调？
• RQ5 在解析设定中，相对态射堆$Hom(X_{\rm Hod}/H^\mathrm{an}, T)$能否定义？其是否可下移至$S_{DR}$？

主要发现

• 几何n-堆在[Si5]意义下是可表示的，即其在同伦纤维积与截断下封闭，从而支持庞特里亚金塔构造。
• 态射堆$Hom(X_{DR}/S_{DR}, T) \to S_{DR}$是几何的，表明对任意连通的非常可表示n-堆$T$，高斯-马宁联络可下移至$S_{DR}$。
• 当$T = K({\cal O}, n)$或$T = BG$时，$Hom(X_{DR}, T)$上的霍奇滤子推广了经典德拉姆上同调，提供了一类高阶非交换类比。
• 在对数紧化设定中，态射$Hom(\overline{X}_{\rm Hod}(\log D)/\overline{S}_{\rm Hod}(\log E), T) \to \overline{S}_{\rm Hod}(\log E)$是几何的，统一了格里菲斯横截性与正则性。
• 态射堆$Hom(X_{\rm Hod}/H^{\rm an}, T)$的解析版本是一个解析n-堆，当$T$为代数时，其为代数态射堆的解析化。
• 高斯-马宁联络与霍奇滤子的构造可直接推广至解析范畴，无需半稳定条件。