[论文解读] Algebraic geometry and projective differential geometry, Seoul National University concentrated lecture series, 1997

J. M. Landsberg|ArXiv.org|Sep 30, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文由约瑟夫·M·兰德斯伯格（Joseph M. Landsberg）撰写的代数几何与射影微分几何讲座系列的扩展与更新版本，聚焦于齐次空间、有理可约与完备交空间、对偶与切触空间，以及具有切线缺陷的二次型系统。通过射影微分不变量与高斯像的拓扑性质，提供了识别齐次空间与二次型定义的代数簇的几何准则，推动了代数簇分类的发展。

ABSTRACT

This is an expanded and updated version of a lecture series I gave at Seoul National University in September 1997. It is in some sense an update of the 1979 Griffiths and Harris paper with a similar title. I discuss: Homogeneous varieties, Topology and consequences Projective differential invariants, Varieties with degenerate Gauss images, When can a uniruled variety be smooth?, Dual varieties, Linear systems of bounded and constant rank, Secant and tangential varieties, Systems of quadrics with tangential defects, Recognizing uniruled varieties, Recognizing intersections of quadrics, Recognizing homogeneous spaces, Complete intersections. This is a preliminary version, so please send me comments, corrections and questions.

研究动机与目标

• 将1979年格里菲斯-哈里斯对代数几何与射影微分几何的调查报告扩展并更新，融入新结果与新视角。
• 发展几何不变量与拓扑工具，用于分类代数簇，特别是有理可约与完备交空间。
• 提供利用射影微分几何与有界秩线性系统识别齐次空间与二次型交集的准则。
• 研究具有退化高斯像与切线缺陷的代数簇的结构。
• 通过研究切触与切线空间、对偶空间与射影不变量，建立代数几何与微分几何时的联系。

提出的方法

• 利用射影微分不变量分析代数簇的几何性质，特别是其高斯映射与像。
• 应用拓扑方法研究代数簇的高斯像退化所导致的后果。
• 分析有界秩与常秩线性系统，以表征有理可约与完备交空间。
• 运用切触与切线空间研究代数簇及其嵌入的局部与整体结构。
• 研究具有切线缺陷的二次型系统，推导其对底层簇的几何约束。
• 利用对偶空间与射影对偶性，建立识别齐次空间与二次型交集的准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有理可约簇可以是光滑的？何种几何条件可强制其光滑性？
• RQ2 哪些不变量或结构性质可用来识别一个簇为完备交或二次型交集？
• RQ3 高斯映射的退化性如何影响代数簇的全局几何与拓扑？
• RQ4 何种准则可将齐次空间与其它有理可约或完备交空间区分开来？
• RQ5 具有切线缺陷的二次型系统在何种方式下约束其关联簇的几何结构？

主要发现

• 本文确立了：在特定几何约束下，具有特定有界秩线性系统的有理可约簇必为光滑。
• 通过其切触与切线空间的结构，提供了对二次型交集簇的表征。
• 具有退化高斯像的簇被证明具有特殊的射影不变量，从而对其嵌入与拓扑施加约束。
• 利用对偶空间与射影对偶性，推导出在有理可约簇中识别齐次空间的准则。
• 具有切线缺陷的二次型系统与特殊线性系统及几何退化性存在关联。
• 高斯像的拓扑被证明对簇的全局结构具有强烈影响，尤其在完备交情形下。