[论文解读] Algebraic geometry codes and some applications

Alain Couvreur, Hugues Randriambololona|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 110被引用 6

一句话总结

本文综述了代数几何（AG）码，详细阐述了其在有限域上代数曲线上的构造方法、改进的最小距离界，以及解码算法。文章突出展示了若干关键进展，例如Tsfasman–Vläduć–Zink界在平方域上超越Gilbert–Varshamov界，以及在公钥密码学、秘密共享和分布式存储中的局部可恢复码中的应用。

ABSTRACT

This article surveys the development of the theory of algebraic geometry codes since their discovery in the late 70's. We summarize the major results on various problems such as: asymptotic parameters, improved estimates on the minimum distance, and decoding algorithms. In addition, we present various modern applications of these codes such as public-key cryptography, algebraic complexity theory, multiparty computation or distributed storage.

研究动机与目标

• 提供自20世纪70年代末AG码被发现以来其发展历程的全面综述。
• 总结关于渐近参数、最小距离界和解码算法的关键理论结果。
• 展示AG码在公钥密码学、多方计算、秘密共享和分布式存储系统中的现代应用。
• 强调具有大量有理点的曲线在实现优越码参数（尤其是在平方域上）中的作用。
• 探讨利用曲线的纤维积构造具有多个恢复集的局部可恢复码（LRCs）的方法。

提出的方法

• 利用有限域上的代数几何，特别是曲线上的有理函数和微分形式，来构造AG码。
• 应用函数域与除子理论，通过Riemann-Roch空间来定义和分析AG码。
• 采用曲线的递归塔（如Garcia-Stichtenoth）来构造具有高有理点数的曲线序列。
• 利用曲线的纤维积构造来构建具有多个恢复集的局部可恢复码（LRCs）。
• 应用$\star$-乘积运算来组合码，导出具有结构化性质（如抗共谋性与秘密共享）的新码。
• 采用解码算法，如可纠正至多设计距离一半错误的算法，以及列表解码的扩展形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 AG码如何在某些有限域上实现超越Gilbert-Varshamov界的渐近参数？
• RQ2 AG码的最小距离在Goppa原始估计之外的改进下界是什么？
• RQ3 能否设计出可纠正超过传统一半距离界错误的AG码高效解码算法？
• RQ4 如何利用AG码构建安全的公钥密码系统，特别是在McEliece框架中？
• RQ5 从代数曲线构造的具有多个恢复集的局部可恢复码的构造方法与性质是什么？

主要发现

• 当$ q = p^2 $或$ p^4 $时，Tsfasman-Vläduć-Zink界实现渐近速率$ R \geq 1 - \delta - \frac{1}{\sqrt{q}-1} $，在$ q \geq 49 $时超越Gilbert-Varshamov界。
• Ihara常数$ A(q) $由模曲线和Shimura曲线实现，Drinfeld-Vläduć证明该界为最优。
• 递归曲线塔（如Garcia-Stichtenoth）提供了显式构造，使得$ \limsup_{g \to \infty} \frac{\max |X(\mathbb{F}_q)|}{g} = A(q) $，从而实现最优码序列。
• 由亏格$ g $的曲线构造的AG码具有改进的最小距离界，优于Goppa的估计，使得码性能超越已知最佳参数表。
• 通过曲线的纤维积可构造具有可用性$ t \geq 2 $的局部可恢复码（LRCs），获得具有多个不相交恢复集的码。
• 通过$ \Phi^*G $和态射$ \phi_1, \phi_2 $定义的码$ \mathcal{C} $具有参数$ [n,k,d] $，其中$ n = s(\ell_1+1)(\ell_2+1) $，$ k \geq (\deg G + 1 - g_X)\ell_1\ell_2 $，且$ d \geq n - \deg G(\ell_1+1)(\ell_2+1) - \cdots $，确保良好的局部性和距离特性。