[论文解读] Algebraic higher symmetries and non-invertible anomaly in symmetry-breaking and topological phase transitions

Wenjie Ji, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Atomic and Subatomic Physics Research被引用 2

一句话总结

本文提出了一种范畴对称性——将全局对称性和其对偶的高阶对称性结合——作为对称性自发破缺与拓扑相变临界点的统一框架。研究表明，在具有有限对称群 $G$ 的 $n$ 维系统中，临界点处存在一个对偶的 $(n-1)$-对称性，形成一个范畴对称性，即使在某些部分被自发放破缺的能隙相中，该对称性在临界点仍保持未破缺。

ABSTRACT

For a zero-temperature Landau symmetry breaking transition in $n$-dimensional space that completely breaks a finite symmetry $G$, the critical point at the transition has the symmetry $G$. In this paper, we show that the critical point also has a dual symmetry - a $(n-1)$-symmetry described by a higher group when $G$ is Abelian or an algebraic $(n-1)$-symmetry beyond higher group when $G$ is non-Abelian. In fact, any $G$-symmetric system can be viewed as a boundary of $G$-gauge theory in one higher dimension. The conservation of gauge charge and gauge flux in the bulk $G$-gauge theory gives rise to the symmetry and the dual symmetry respectively. So any $G$-symmetric system actually has a larger symmetry called categorical symmetry, which is a combination of the symmetry and the dual symmetry. However, part (and only part) of the categorical symmetry must be spontaneously broken in any gapped phase of the system, but there exists a gapless state where the categorical symmetry is not spontaneously broken. Such a gapless state corresponds to the usual critical point of Landau symmetry breaking transition. The above results remain valid even if we expand the notion of symmetry to include higher symmetries and algebraic higher symmetries. Thus our result also applies to critical points for transitions between topological phases of matter. In particular, we show that there can be several critical points for the transition from the 3+1D $Z_2$ gauge theory to a trivial phase. The critical point from Higgs condensation has a categorical symmetry formed by a $Z_2$ 0-symmetry and its dual - a $Z_2$ 2-symmetry, while the critical point of the confinement transition has a categorical symmetry formed by a $Z_2$ 1-symmetry and its dual - another $Z_2$ 1-symmetry.

研究动机与目标

• 理解有限对称群 $G$ 的零温相变临界点处隐藏的对称性结构。
• 识别从更高一维的体规范理论中涌现的对偶对称性——特别是 $(n-1)$-对称性的作用。
• 将对称性的概念从传统的和高阶群推广至非阿贝尔情况下的代数高阶对称性。
• 确立在能隙相中仅部分范畴对称性发生自发放破缺，而整个对称性在临界点保持未破缺。
• 将该框架推广至拓扑相之间的相变，例如 $ olimits\mathbb{Z}_2$ 规范理论与 trivial 相之间的相变。

提出的方法

• 将 $n$ 维空间中的 $G$-对称系统映射到 $n+1$ 维空间中 $G$-规范理论的边界。
• 利用体中规范电荷与规范通量的守恒性，推导出原始的 $G$-对称性及其对偶的 $(n-1)$-对称性。
• 将组合对称性形式化为范畴对称性，统一原始对称性与对称性。
• 分析自发破缺模式：在能隙相中仅部分范畴对称性发生破缺，而在临界点整个对称性保持未破缺。
• 将该框架应用于具体实例，包括 3+1D 的 $ olimits\mathbb{Z}_2$ 规范理论，区分 Higgs 相变与禁闭相变。
• 通过其不同的范畴对称性结构区分临界点：例如 Higgs 相变中存在 $ olimits\mathbb{Z}_2$ 0-对称性及其对偶的 $ olimits\mathbb{Z}_2$ 2-对称性，而禁闭相变中则存在两个 $ olimits\mathbb{Z}_2$ 1-对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $n$ 维系统中，朗道对称性自发破缺相变的临界点处隐藏对称性的本质是什么？
• RQ2 对偶对称性——特别是 $(n-1)$-对称性——如何从更高一维的体 $G$-规范理论中涌现？
• RQ3 原始对称性与对偶对称性如何组合形成一个在临界点保持未破缺的范畴对称性？
• RQ4 该框架如何推广至拓扑相之间的相变，例如从 $ olimits\mathbb{Z}_2$ 规范理论到 trivial 相的相变？
• RQ5 在范畴对称性结构上，Higgs 凝结相变与禁闭相变的临界点有何区别？

主要发现

• 在具有有限对称群 $G$ 的 $n$ 维朗道对称性自发破缺相变中，临界点具有对偶的 $(n-1)$-对称性；当 $G$ 为阿贝尔群时，该对称性为高阶群；当 $G$ 为非阿贝尔群时，其为代数高阶对称性。
• 将原始 $G$-对称性及其对偶对称性组合而成的完整范畴对称性，在临界点保持未破缺，即使在能隙相中其部分被自发放破缺。
• 临界点对应一个无能隙的量子态，其中完整的范畴对称性被保留，从而为临界性提供了统一的描述。
• 在 3+1D 的 $ olimits\mathbb{Z}_2$ 规范理论到 trivial 相的相变中，存在两个不同的临界点：一个来自 Higgs 凝结，具有 $ olimits\mathbb{Z}_2$ 0-对称性及其对偶的 $ olimits\mathbb{Z}_2$ 2-对称性。
• 禁闭相变的临界点具有由两个 $ olimits\mathbb{Z}_2$ 1-对称性构成的范畴对称性，表明其对称性结构与 Higgs 相变不同。
• 该框架超越了传统对称性，包含代数高阶对称性，表明范畴对称性结构适用于所有 $G$-对称系统，包括非阿贝尔 $G$ 的情形。