[论文解读] Algebraic K-theory of strict ring spectra

John Rognes|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 64被引用 7

一句话总结

本文为严格环谱的代数K-理论构建了一个框架，引入了对数拓扑Hochschild同调与完备bar构造，以刻画温和分歧扩张。它建立了从p-局部球谱到连通拓扑K-理论的对数THH-étale态射，为动机上同调中的算术对偶性提供了证据，并通过适度局部化后对分歧扩张的谱实现，将其与伽罗瓦上同调联系起来。

ABSTRACT

We view strict ring spectra as generalized rings. The study of their algebraic K-theory is motivated by its applications to the automorphism groups of compact manifolds. Partial calculations of algebraic K-theory for the sphere spectrum are available at regular primes, but we seek more conceptual answers in terms of localization and descent properties. Calculations for ring spectra related to topological K-theory suggest the existence of a motivic cohomology theory for strictly commutative ring spectra, and we present evidence for arithmetic duality in this theory. To tie motivic cohomology to Galois cohomology we wish to spectrally realize ramified extensions, which is only possible after mild forms of localization. One such mild localization is provided by the theory of logarithmic ring spectra, and we outline recent developments in this area.

研究动机与目标

• 为严格环谱的代数K-理论发展一个概念性框架，其动机源于流形自同构的应用。
• 理解环谱的代数K-理论在局部化与下降性质方面的表现，特别是与球谱和拓扑K-理论的关系。
• 为严格交换环谱建立动机上同调理论，并为此情境下的算术对偶性提供证据。
• 通过对其数论谱实现，将分歧扩张谱化，从而在动机上同调与伽罗瓦上同调之间建立联系。
• 构建Goerss–Hopkins–Miller障碍理论的对数类比，以分类对数扩张，并生成新的温和分歧扩张例子。

提出的方法

• 在 $\text{CS}^\text{J}$ 上的群完备化模型结构中，使用完备bar构造 $B^{\text{rep}}(M)$ 作为循环bar构造 $B^{\text{cy}}(M)$ 的纤维化替换。
• 通过条件：在沿 $THH(A,M)$ 从 $A$ 到 $B$ 的基变换后，$B \to THH(B,N)$ 成为同构，来定义形式对数thh-étale态射。
• 将完备bar构造应用于 $d$-周期性交换对称环谱 $E$ 的乘法幺半群 $GL_1^{\text{J}}(E)$，以刻画对数THH。
• 建立同伦余纤维序列 $THH(e) \to THH(e, j_*GL_1^{\text{J}}(E)) \to \bigvee \text{THH}(e[0,d))$，其中 $e$ 是 $E$ 的连通覆盖。
• 利用迹映射，将 $\tau_0(e)$、$e$ 和 $E$ 的K-理论与各自的THH及 $WTHH^{\text{Γ}}$-理论联系起来。
• 提出一个猜想：$THH(e, j_*GL_1^{\text{J}}(E)) \to WTHH^{\text{Γ}}(e|E)$ 是兼容迹映射的循环谱同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以支持算术对偶性的方式实现严格交换环谱的动机上同调？
• RQ2 如何在温和分歧的背景下，对环谱的分歧扩张进行谱实现？
• RQ3 对数拓扑Hochschild同调在刻画环谱的下降与étale性质方面起什么作用？
• RQ4 是否存在Goerss–Hopkins–Miller障碍理论的对数类比，以分类环谱的对数扩张？
• RQ5 能否通过涉及连通覆盖及其对数结构的THH的序列来计算环谱的代数K-理论？

主要发现

• 态射 $(\bar{\nu}, j_*GL_1^{\text{J}}(L_p)) \to (ku_p, j_*GL_1^{\text{J}}(KU_p))$ 是对数thh-étale的，为 $\bar{\nu}$ 与 $ku_p$ 之间建立了关键联系。
• 对于具有连通覆盖 $e$ 的 $d$-周期性交换对称环谱 $E$，存在自然的同伦余纤维序列 $THH(e) \to THH(e, j_*GL_1^{\text{J}}(E)) \to \bigvee \text{THH}(e[0,d))$。
• $THH(ku_p)$ 的 $V(1)$-同伦可通过 $THH(\bar{\nu})$、$THH(\bar{\nu}, j_*GL_1^{\text{J}}(L_p))$ 与 $THH(ku_p, j_*GL_1^{\text{J}}(KU_p))$ 计算。
• 当 $\tau_0(e)$ 是正则时，构造了在K-理论与THH之间、迹映射为竖向箭头的水平同伦余纤维序列的映射。
• 提出猜想：$THH(e, j_*GL_1^{\text{J}}(E)) \to WTHH^{\text{Γ}}(e|E)$ 是兼容迹映射的循环谱同构。
• $ku_2$ 不能作为有限细胞 $ko_2[C_2]$-模的截面，表明其存在野生分歧，与奇素数 $p$ 下 $ku_p$ 的温和分歧形成对比。