[论文解读] Algebraic K-theory of toric hypersurfaces

Matt Kerr, Charles F. Doran|ArXiv.org|Sep 26, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 7

一句话总结

本文建立了一套框架，用于通过代数K-理论和高阶正常函数，在toric超曲面上构造motivic上同调类并计算regulator周期，特别关注Calabi-Yau流形。证明了由Laurent多项式导出的3-流形族的周期矩阵具有有理数项，当且仅当该族是模形式的；并表明不存在h^{2,1}=1的反卡鲁查-杨toric 3-流形族是模形式的，从而解决了局部镜像对称中的一个关键问题。

ABSTRACT

We construct classes in the motivic cohomology of certain 1-parameter families of Calabi-Yau hypersurfaces in toric Fano n-folds, with applications to local mirror symmetry (growth of genus 0 instanton numbers) and inhomogeneous Picard-Fuchs equations. In the case where the family is classically modular the classes are related to Belinson's Eisenstein symbol; the Abel-Jacobi map (or rational regulator) is computed in this paper for both kinds of cycles. For the "modular toric" families where the cycles essentially coincide, we obtain a motivic (and computationally effective) explanation of a phenomenon observed by Villegas, Stienstra, and Bertin.

研究动机与目标

• 通过代数K-理论和regulator映射，在Calabi-Yau流形族上构造motivic上同调类。
• 计算toric超曲面上全纯n-形式的regulator周期，并将其与相关Hodge结构的周期联系起来。
• 确定3-流形族的周期矩阵何时具有有理数项，这标志着模形式性。
• 解决在toric反卡鲁查-杨超曲面设定下，是否存在模形式的Calabi-Yau 3-流形族的问题。
• 在模形式与Beilinson猜想的背景下，比较toric regulaor构造与Eisenstein符号。

提出的方法

• 利用Duistermaat与van der Kallen的完成定理，在toric超曲面上构造motivic上同调类。
• 使用KLM公式计算奇异纤维上的高阶Abel-Jacobi映射与regulator周期。
• 对regulator电流进行解析延拓，并将其与中心纤维补集上全纯形式的周期联系起来。
• 利用极限混合Hodge结构的周期矩阵，通过无理数项检测非模形式性。
• 在同余子群与模形式的背景下，比较toric符号与Eisenstein符号。
• 通过周期矩阵分析预势能F(0)，以检测瞬子修正与非模形式性。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯n-形式在toric超曲面上何时能延拓为紧化族中的motivic上同调类？
• RQ2 Calabi-Yau 3-流形上全纯形式的regulator周期何时为有理数，这又对模形式性意味着什么？
• RQ3 由Laurent多项式导出的1参数Calabi-Yau 3-流形族的周期矩阵是否可能含有无理数项，这又意味着什么？
• RQ4 是否存在h^{2,1}=1的反卡鲁查-杨toric 3-流形是模形式的？若否，原因是什么？
• RQ5 在Beilinson猜想与模形式的背景下，toric regulaor构造与Eisenstein符号有何异同？

主要发现

• 五次镜像族的周期矩阵包含无理数项−200ζ(3)/(2πi)^3，证明其非模形式。
• 对于五次镜像族，周期矩阵不与单位矩阵在单模等价意义下等价，进一步确认其非模形式性。
• 所有h^{2,1}=1的反卡鲁查-杨toric 3-流形族均非模形式，由周期矩阵中预势能项F(0)的无理性所证明。
• 由φ = x+y+z+w+1/(xyzw)定义的族非模形式，因其周期矩阵包含非有理数项。
• 通过toric符号构造motivic上同调类的方法在周期矩阵含有无理数项时无法产生模形式族。
• 缺乏模形式例子的原因在于几何要求：模形式曲线的统一化微分方程必须是二阶微分方程的对称立方，而这一条件在所列的5个3-流形族中均不成立。