[论文解读] Algebraic Kan extensions in double categories

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 11

一句话总结

该论文确立了在正常伪双乘法双 monad 的代数双范畴中，点态 Kan 扩展沿遗忘函子上移的条件，推广了 Getzler 关于对称张量 Kan 扩展的结果。关键贡献是通过双范畴中的代数 Kan 扩展建立统一框架，证明当满足结构条件（如点态左精确性及与余极限相容性）时，此类上移存在，其应用包括在余交换余代数上生成自由双交换 Hopf 代数。

ABSTRACT

We study Kan extensions in three weakenings of the Eilenberg-Moore double category associated to a double monad, that was introduced by Grandis and Paré. To be precise, given a normal oplax double monad $T$ on a double category $\mathcal K$, we consider the double categories consisting of pseudo $T$-algebras, `weak' vertical $T$-morphisms, horizontal $T$-morphisms and $T$-cells, where `weak' means either `lax', `colax' or `pseudo'. Denoting these double categories by $\mathsf{Alg}_w T$, where w = l, c or ps accordingly, our main result gives, in each of these cases, conditions ensuring that (pointwise) Kan extensions can be lifted along the forgetful double functor $\mathsf{Alg}_w T o \mathcal K$. As an application we recover and generalise a result by Getzler, on the lifting of pointwise left Kan extensions along symmetric monoidal enriched functors. As an application of Getzler's result we prove, in suitable symmetric monoidal categories, the existence of bicommutative Hopf monoids that are freely generated by cocommutative comonoids.

研究动机与目标

• 将 Getzler 关于对称张量 Kan 扩展上移结果推广至双范畴中代数 Kan 扩展的更广泛框架。
• 建立从双范畴弱 T-代数到基双范畴 K 的遗忘双函子上，点态左 Kan 扩展上移的充分条件。
• 证明在具有余极限的对称张量范畴中，由余交换余代数生成的自由双交换 Hopf 代数的存在性。
• 通过双范畴结构统一处理 enriched 与 monoidal 上下文中的 Kan 扩展。

提出的方法

• 使用伪 T-代数的双范畴，其中垂直 T-态射为弱态射（即 lax、colax 或 pseudo）以及水平 T-态射。
• 引入从 Algw(T) 到 K 的遗忘双函子，其中 Algw(T) 是弱 T-代数与弱 T-态射的双范畴。
• 应用双范畴中代数 Kan 扩展的概念，推广 2-范畴中的点态 Kan 扩展。
• 将左 Beck-Chevalley 条件作为关键技术工具，以验证 Kan 扩展的上移。
• 利用水平态射的表格化与限制来分析扩展性质。
• 将该理论应用于其代数为对称张量范畴的双 monad，从而恢复并推广了 Getzler 的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在双范畴 K 上的正常伪双乘法双 monad T，点态左 Kan 扩展在从 Algw(T) 到 K 的遗忘双函子上移的条件是什么？
• RQ2 目标范畴 M 的结构如何影响由余交换余代数生成的自由双交换 Hopf 代数的存在性？
• RQ3 双 monad T 的点态左精确性在确保 Kan 扩展上移中起什么作用？
• RQ4 条件 (p) —— 即 M 保持点态左 Kan 扩展 —— 在余张量情形下如何确保扩展的上移？
• RQ5 主定理的水平对偶以何种方式推广了 Getzler 关于对称张量 Kan 扩展的结果？

主要发现

• 主要结果表明，对于余张量弱态射，条件 (e) —— 即 J 的结构细胞的点态左 d-精确性 —— 蕴含遗忘函子上移点态左 Kan 扩展。
• 对于张量弱态射，条件 (p) —— 即 M 的代数结构保持点态左 Kan 扩展 —— 蕴含 Kan 扩展的上移。
• 在伪情形下，任意两个条件 (p)、(e) 和 (l) 的成立可推出第三个，表明代数结构、精确性与上移之间存在一致的相互作用。
• 本文证明，在张量积在每个变量中均保持余极限的 cocomplete 对称张量范畴 M 中，从无偏双交换 Hopf 代数到余交换余代数的遗忘函子存在左伴随。
• 该伴随关系意味着由余交换余代数生成的自由双交换 Hopf 代数的存在性，作为将主定理应用于双代数 H（即双交换 Hopf 代数的 PROP）的推论。
• 通过矩阵分解证明了嵌入 j: F^op → H 的左 Beck-Chevalley 条件，表明 H 中的每个态射均可唯一地通过 F^op 与分块矩阵因子化。