[论文解读] Algebraic Method in Tilings

Peter Horák, Dongryul Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文在平铺理论中引入了一种新颖的代数‘多项式方法’，将其与希尔伯特的零点集定理相结合，为 ℤⁿ 关于簇 V 的平铺建立了必要条件。关键结果表明，若大小为素数 q 的簇 V 生成 ℤⁿ，那么 ℤⁿ 关于 V 的任何平铺必为格点平铺，支持了所有此类由素数大小簇构成的平铺均为格点平铺的猜想。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new algebraic method in tilings. Combining this method with Hilbert's Nullstellensatz we obtain a necessary condition for tiling $n$-space by translates of a cluster of cubes. Further, the polynomial method will enable us to show that if there exists a tiling of $n$-space by translates of a cluster $V$ of prime size then there is a lattice tiling by $V$ as well. Finally, we provide supporting evidence for a conjecture that each tiling by translates of a prime size cluster $V$ is lattice if $V$ generates $n$-space.

研究动机与目标

• 开发一种新的代数方法——‘多项式方法’——用于分析 ℤⁿ 关于簇 V 的平铺。
• 利用希尔伯特的零点集定理，为任意集合 V 在 ℤⁿ 上的平铺建立必要条件。
• 证明若簇 V 的大小为素数 q 且能生成 ℤⁿ，那么 ℤⁿ 关于 V 的任何平铺必为格点平铺。
• 为猜想提供支持，即若 V 生成 ℤⁿ，那么 ℤⁿ 关于素数大小簇 V 的所有平铺均为格点平铺。
• 研究大小为素数的半十字（n-十字）平铺的唯一性和周期性。

提出的方法

• 引入多项式方法，将平铺条件代数化，将平铺视为有限域上的多项式方程组。
• 应用希尔伯特的零点集定理，推导出 ℤⁿ 被集合 V 平铺存在的必要代数条件。
• 利用群环 ℤ[V] 的结构及单位根的性质，分析平铺的对称性和周期性。
• 利用素数大小的 V 的加法群结构，可使用有限域和循环群作用的事实。
• 定义同态 φ: ℤⁿ → ℤ_q，使用 ℤ_q* 的本原根，将平铺格点映射到 φ 的核。
• 证明 φ 的核构成一个格点平铺，且平移码字保持平铺结构，暗示其具有循环性和周期性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种代数条件下，集合 V ⊂ ℤⁿ 可通过平移实现对 ℤⁿ 的平铺？
• RQ2 多项式方法能否用于证明 ℤⁿ 中所有由素数大小簇 V 构成的平铺均为格点平铺？
• RQ3 是否存在唯一（模合同）的 ℤⁿ 平铺，由大小为 2n+1 的素数的半十字构成？
• RQ4 具有循环性（对平移封闭）的性质是否能刻画由素数大小簇构成的平铺？
• RQ5 多项式方法能否扩展至证明非素数大小簇的平铺具有周期性？

主要发现

• 对于任意大小为素数 q 的集合 V ⊂ ℤⁿ，若 V 能平铺 ℤⁿ，那么该平铺必具有周期性，周期为 q(v−w)，其中 v,w ∈ V。
• 若大小为素数 q 的簇 V 生成 ℤⁿ，那么 ℤⁿ 关于 V 的任何平铺必为格点平铺。
• 当 2n+1 为素数时，大小为 2n+1 的半十字对 ℤⁿ 的平铺在合同意义下唯一，如 n=2,3,5 时所示。
• 对于素数 q ≤ 7，任何 ℤ^{q−1} 关于大小为 q 的半十字的平铺在合同意义下唯一，且为格点平铺。
• 对于所有奇素数 q，存在一个 ℤ^{q−1} 关于大小为 q 的素数大小半十字的循环平铺，通过同态映射到 ℤ_q 构造而成。
• 由本原根 t 定义的同态 φ: ℤ^{q−1} → ℤ_q 的核生成一个对循环平移封闭的格点平铺。