[论文解读] Algebraic Multigrid Methods

Jinchao Xu, Ludmil Zikatanov|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 100被引用 4

一句话总结

本文通过最小化与平滑器和系统矩阵相关的矩阵的迹，推导出最优粗网格空间，为代数多重网格（AMG）方法构建了一个统一的理论框架。在较弱假设下证明了两层AMG的统一收敛性，并表明大多数现有AMG方法近似于该最优粗网格空间，从而在单一抽象多重网格理论中统一了经典AMG、基于聚合的AMG以及能量最小化AMG方法。

ABSTRACT

This paper is to give an overview of AMG methods for solving large scale systems of equations such as those from the discretization of partial differential equations. AMG is often understood as the acronym of "Algebraic Multi-Grid", but it can also be understood as "Abstract Muti-Grid". Indeed, as it demonstrates in this paper, how and why an algebraic multigrid method can be better understood in a more abstract level. In the literature, there are a variety of different algebraic multigrid methods that have been developed from different perspectives. In this paper, we try to develop a unified framework and theory that can be used to derive and analyze different algebraic multigrid methods in a coherent manner. Given a smoother $R$ for a matrix $A$, such as Gauss-Seidel or Jacobi, we prove that the optimal coarse space of dimension $n_c$ is the span of the eigen-vectors corresponding to the first $n_c$ eigenvalues of $\bar RA$ (with $\bar R=R+R^T-R^TAR$). We also prove that this optimal coarse space can be obtained by a constrained trace-minimization problem for a matrix associated with $\bar RA$ and demonstrate that coarse spaces of most of existing AMG methods can be viewed some approximate solution of this trace-minimization problem. Furthermore, we provide a general approach to the construction of a quasi-optimal coarse space and we prove that under appropriate assumptions the resulting two-level AMG method for the underlying linear system converges uniformly with respect to the size of the problem, the coefficient variation, and the anisotropy. Our theory applies to most existing multigrid methods, including the standard geometric multigrid method, the classic AMG, energy-minimization AMG, unsmoothed and smoothed aggregation AMG, and spectral AMGe.

研究动机与目标

• 开发一个连贯的理论框架，将多种代数多重网格方法统一于单一抽象多重网格理论之下。
• 将给定平滑器的最优粗网格空间识别为由矩阵 $ar{R}A$ 的最小特征值对应的特征向量张成的空间。
• 证明大多数现有AMG方法近似于定义最优粗网格空间的约束迹最小化问题的解。
• 在适当假设下，建立两层AMG关于问题规模、系数变化和各向异性的统一收敛性。
• 提出一种适用于由PDE离散化产生的广泛线性系统类的准最优粗网格空间的一般构造方法。

提出的方法

• 将最优粗网格空间表示为 $ar{R}A$ 的前 $n_c$ 个特征向量的张成空间，其中 $ar{R} = R + R^T - R^T A R$，且 $R$ 为高斯-赛德尔或雅可比等平滑器。
• 将最优粗网格空间表述为涉及矩阵 $ar{R}A$ 的约束迹最小化问题的解。
• 证明经典AMG、平滑聚合方法以及能量最小化AMG可被解释为对这一迹最小化问题的近似。
• 提出一种基于迹最小化框架的准最优粗网格空间的一般构造方法。
• 在对平滑器和粗网格空间质量的假设下，建立两层AMG的收敛性理论，证明其关于问题规模和系数变化的统一收敛性。
• 将该抽象框架应用于统一和分析几何多重网格、经典AMG、平滑聚合方法以及谱AMGe，揭示其理论联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代数多重网格方法中，给定平滑器的最优粗网格空间是什么？
• RQ2 最优粗网格空间在数学上如何表征，其与系统矩阵和平滑器的关系是什么？
• RQ3 为何许多现有AMG方法虽未使用精确的最优粗网格空间，却仍表现良好？
• RQ4 能否开发一个统一的理论框架，以分析和比较多种AMG方法？
• RQ5 在何种条件下，两层AMG方法能关于问题规模和系数变化实现统一收敛？

主要发现

• 维度为 $n_c$ 的最优粗网格空间是 $ar{R}A$ 的对应于前 $n_c$ 个最小特征值的特征向量张成的空间，其中 $ar{R} = R + R^T - R^T A R$。
• 该最优粗网格空间等价于涉及矩阵 $ar{R}A$ 的约束迹最小化问题的解。
• 大多数现有AMG方法，包括经典AMG、平滑聚合方法和能量最小化AMG，均可被解释为对这一迹最小化问题的近似解。
• 提出了一种准最优粗网格空间的一般构造方法，该方法在适当假设下可确保所构造的两层AMG方法实现统一收敛性。
• 使用准最优粗网格空间构造的两层AMG方法，关于问题规模、系数变化和各向异性均实现统一收敛。
• 该抽象多重网格框架统一了并为几何多重网格、经典AMG、平滑聚合方法以及谱AMGe提供了理论基础。