[论文解读] Algebraic points on Shimura curves of $\Gamma_0(p)$-type (III)

Keisuke Arai, Fumiyuki Momose|arXiv (Cornell University)|May 16, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文在某些数域上，对足够大的素数 p，证明了 Γ₀(p)-型模曲线不存在有理点，其条件较为宽松，包括排除虚二次域的希尔伯特类域以及四元数代数的局部非分裂条件。主要贡献是将经典模曲线的非存在性结果推广至施瓦赤曲线情形，并提供了明确的例子。

ABSTRACT

In previous articles, we classified the characters associated to algebraic points on Shimura curves of $\\Gamma_0(p)$-type, and over number fields in a certain large class we showed that there are at most elliptic points on such a Shimura curve for every sufficiently large prime number $p$. In this article, we prove the non-existence of elliptic points on Shimura curves of $\\Gamma_0(p)$-type under a mild assumption. We also give an explicit example.

研究动机与目标

• 将模曲线上有理点非存在性结果推广至 Γ₀(p)-型施瓦赤曲线。
• 解决关于椭圆点在这些施瓦赤曲线上是否可能存在于数域上的开放问题。
• 建立当大素数 p 和数域 k 满足特定条件时，M₀ᴮ(p)(k) = ∅ 的条件。
• 在给定条件下，提供一个无有理点的曲线的明确例子。
• 阐明四元数代数与伽罗瓦表示在阻碍这些曲线上有理点存在中的作用。

提出的方法

• 利用与 QM-阿贝尔簇相关的伽罗瓦表示，分析其在 p-挠点上的作用。
• 应用模 p 的单位根特征标与特征标分解，研究伽罗瓦像的结构。
• 利用 B⊗ℚ(√−q) ≇ M₂(ℚ(√−q)) 的非分裂条件，排除有理点的存在。
• 分析奇数次素点及未分歧剩余特征标下的局部行为，以推导全局阻碍。
• 运用类域论与希尔伯特类域阻碍，排除有理点的存在。
• 在特定情形（d=6, d=22）中进行显式计算，以验证条件并说明定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Γ₀(p)-型施瓦赤曲线在数域 k 上对大素数 p 不存在有理点？
• RQ2 当基域避开虚二次域的希尔伯特类域时，椭圆点是否可能存在于 M₀ᴮ(p) 上？
• RQ3 四元数代数 B⊗ℚ(√−q) 的非分裂性如何阻碍 M₀ᴮ(p) 上有理点的存在？
• RQ4 伽罗瓦表示 ρ̄A,p 在决定这些曲线上有理点存在性中起什么作用？
• RQ5 在给定假设下，能否构造出此类无有理点曲线的显式例子？

主要发现

• 对于任意有限伽罗瓦扩张 k/ℚ，若其不包含任何虚二次域的希尔伯特类域，并满足温和的局部条件，则对所有充分大的素数 p，有 M₀ᴮ(p)(k) = ∅。
• 若在 k 中存在一个奇数次素点 q，使得 B⊗ℚ(√−q) ≇ M₂(ℚ(√−q))，则该非分裂条件足以确保当 p 足够大时，M₀ᴮ(p)(k) 中无有理点。
• 为 d=6 和 d=22 构造了明确例子，验证了定理条件，并表明当 p > 128 时，M₀ᴮ(p)(k) = ∅ 成立。
• 当 d=6 或 d=22 时，Mᴮ 在 k 上有无穷多个有理点，但 M₀ᴮ(p) 在 k 上对大 p 无有理点。
• 满足非分裂条件的奇数次素点的最小范数为 32，该值界定了定理适用的 p 的范围。