[论文解读] Algebraic Realization of Supersymmetric Quantum Mechanics for Cyclic Shape Invariant Potentials

C. Quesne, N. Vansteenkiste|ArXiv.org|Jan 22, 1999

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 2被引用 19

一句话总结

本文通过使用 $C_3$-扩展谐振子代数 $\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$，对周期为三的循环形状不变势的超对称量子力学（SSQM）进行了代数实现，表明某些能谱表现出无限且周期性排列的能级。该研究通过产生/湮灭算符和泡利矩阵构造了超对称哈密顿量与超电荷，并通过 $C_\lambda$-扩展代数将结果推广至任意周期 $\lambda$，并推导出确保能谱周期性的参数约束条件。

ABSTRACT

We study in detail the spectrum of the bosonic oscillator Hamiltonian associated with the $C_3$-extended oscillator algebra \algthree, where $C_3$ denotes a cyclic group of order three, and classify the various types of spectra in terms of the algebra parameters $α_0, α_1$. In such a classification, we identify those spectra having an infinite number of periodically spaced levels, similar to those of cyclic shape invariant potentials of period three. We prove that the hierarchy of supersymmetric Hamiltonians and supercharges, corresponding to the latter, can be realized in terms of some appropriately chosen \algthree algebras, and of Pauli spin matrices. Extension to period-$λ$ spectra in terms of $C_λ$-extended oscillator algebras is outlined.

研究动机与目标

• 通过参数 $\alpha_0$、$\alpha_1$ 对 $C_3$-扩展谐振子代数 $\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$ 关联的玻色子谐振子哈密顿量的谱进行分类。
• 识别出具有无限多周期性排列能级的谱类型，其与周期为三的循环形状不变势的谱类似。
• 利用 $\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$ 代数和泡利自旋矩阵，实现此类势的超对称哈密顿量与超电荷的层级结构。
• 通过 $C_\lambda$-扩展谐振子代数将该构造推广至 $\lambda$-周期系统，并推导出确保周期性谱的参数约束条件。

提出的方法

• 通过分类实参数 $\alpha_0$、$\alpha_1$ 的行为，分析 $C_3$-扩展谐振子哈密顿量 $H_0$ 的谱，识别出非简并与简并情形。
• 通过 $\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$ 代数中的产生/湮灭算符 $a^\dagger_\mu$、$a_\mu$，利用 $\alpha_0$、$\alpha_1$、$\alpha_2 = -\alpha_0 - \alpha_1$ 的循环置换获得的参数，构造超对称哈密顿量 $\mathcal{H}^{(\mu)}$ 与超电荷 $Q_\mu$、$Q^\dagger_\mu$。
• 通过涉及泡利矩阵的矩阵表示实现超对称性层级，确保超代数的封闭性。
• 通过定义 $C_\lambda$-扩展谐振子代数 $\mathcal{A}^{(\lambda)}_{\alpha_0\ldots\alpha_{\lambda-2}}$，将构造推广至 $\lambda$-周期系统，其中参数约束为：$-1 < \alpha_0 < \lambda-1$，$-1 < \alpha_\mu < \lambda - \mu - 1 - \sum_{\nu=0}^{\mu-1} \alpha \nu$（$\mu = 1,\ldots,\lambda-2$），且 $\alpha_{\lambda-1} = -\sum_{\nu=0}^{\lambda-2} \alpha_\nu$。
• 证明 $\mathcal{H}^{(\mu)}$ 的能级具有周期性排列，其频率 $\omega_\nu$ 依赖于 $\alpha_\nu$，且在特定参数集合下，能级排序与谐振子一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些参数区域内，$C_3$-扩展谐振子代数 $\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$ 会产生具有无限多周期性排列能级的谱？
• RQ2 如何利用谐振子代数和泡利矩阵，代数化实现周期为三的循环形状不变势的超对称哈密顿量与超电荷？
• RQ3 该构造如何推广至任意周期 $\lambda$ 的循环形状不变势？
• RQ4 对 $C_\lambda$-扩展谐振子代数的代数参数 $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{\lambda-2}$ 应施加何种约束，以确保谱的周期性？
• RQ5 $C_\lambda$-扩展谐振子代数能否通过微分算符实现？这对哈密顿量谱的简并结构有何含义？

主要发现

• 当参数满足 $-1 < \alpha_0 < 2$，$-1 < \alpha_1 < 1 - \alpha_0$，且 $\alpha_2 = -\alpha_0 - \alpha_1$ 时，$C_3$-扩展谐振子代数 $\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$ 支持具有无限多周期性排列能级的谱，对应于类型 (I.1.1)、(II.1.1.1) 和 (III.1.1.1)。
• 当 $\alpha_0 = 0$，$\alpha_1 = 1/2$ 时，$\mathcal{H}^{(\mu)}$（$\mu = 0,1,2,3$）的谱表现出周期性排列，频率分别为 $\omega_0 = 1$，$\omega_1 = 3/2$，$\omega_2 = 1/2$，如图 8 所示。
• 超对称哈密顿量 $\mathcal{H}^{(\mu)}$ 与超电荷 $Q_\mu$、$Q^\dagger_\mu$ 通过 $C_3$-扩展谐振子代数实现，其参数由 $\alpha_0$、$\alpha_1$、$\alpha_2$ 的循环置换获得，确保超代数的封闭性。
• 该构造通过 $C_\lambda$-扩展谐振子代数推广至 $\lambda$-周期系统，参数约束确保谱的周期性，且能级排序与谐振子同构。
• 在某些 $\alpha_0$、$\alpha_1$ 值下，$H_0$ 谱的简并性表明，任何微分算符实现都至少需要两个变量，因为一维系统无法表现出此类简并。