[论文解读] Algebraic solutions to multidimensional minimax location problems with Chebyshev distance

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 5被引用 21

一句话总结

本文提出了一种基于幂等代数的新型代数解法，用于求解具有切比雪夫距离的多维极小化极大单设施选址问题。通过利用不可约矩阵的特征值与特征向量的极值性质，该方法将无约束和有约束的选址问题均转化为特征值-特征向量计算问题，借助 $ρ_{\max,+}$ 半环中的矩阵谱理论，获得精确解。

ABSTRACT

Multidimensional minimax single facility location problems with Chebyshev distance are examined within the framework of idempotent algebra. A new algebraic solution based on an extremal property of the eigenvalues of irreducible matrices is given. The solution reduces both unconstrained and constrained location problems to evaluation of the eigenvalue and eigenvectors of an appropriate matrix.

研究动机与目标

• 开发一种新的代数方法，用于求解具有切比雪夫距离的多维极小化极大单设施选址问题。
• 将幂等代数的应用范围扩展至有约束与无约束的选址问题。
• 在幂等代数中建立选址问题与不可约矩阵谱理论之间的联系。
• 通过特征值与特征向量计算，提供一个统一的框架以求解极小化极大选址问题。

提出的方法

• 在幂等半环 $ρ_{\max,+} = (ℝ \cup \{-\infty\}, \max, +)$ 的背景下重新表述问题，其中运算规则被重新定义以支持代数运算。
• 将无约束的极小化极大问题转化为从设施点与需求点数据中导出的不可约矩阵的特征值与特征向量的求解问题。
• 对于有约束问题，通过引入辅助向量 $π_1$ 与 $\bm{q}_1^{-}$，将可行域嵌入目标函数中，从而将有约束问题转化为等价的无约束问题。
• 通过特征值 $\lambda = (\bm{q}^{-}\bm{p})^{1/2}$ 的极值性质推导出解，其中 $\bm{p}$ 与 $\bm{q}^{-}$ 是由需求点与权重构造而成。
• 该方法使用幂等代数中的向量与矩阵运算，包括分量运算以及通过取最大值与求和定义的矩阵乘法。
• 最终解以参数 $\alpha \in [0,1]$ 参数化的向量族形式表示，最优值为 $\lambda = \max(p_1 - q_1, \dots, p_n - q_n)/2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用幂等代数重新表述具有切比雪夫距离的多维极小化极大选址问题？
• RQ2 矩阵的特征值与特征向量在求解此类选址问题中起到什么作用？
• RQ3 能否通过幂等半环中的代数技术，将有约束的选址问题转化为无约束问题？
• RQ4 何种代数结构使得极小化极大问题能够被约化为特征值计算？
• RQ5 所提出的方法如何在单维与有约束情形下推广现有解法？

主要发现

• 极小化极大选址问题的最小值由 $\lambda = (\bm{q}^{-}\bm{p})^{1/2}$ 给出，其中 $\bm{p}$ 与 $\bm{q}^{-}$ 是由设施点与需求点导出的。
• 最优解集可表示为 $\bm{x} = \lambda^{1-2\alpha} \begin{pmatrix} p_1^\alpha q_1^{1-\alpha} \\ \vdots \\ p_n^\alpha q_n^{1-\alpha} \end{pmatrix}$，其中 $\alpha \in [0,1]$，代表一组解。
• 在常规算术中，最优值为 $\lambda = \max(p_1 - q_1, \dots, p_n - q_n)/2$，其中 $p_i = \max(r_{i1}+w_1, \dots, r_{im}+w_m)$ 且 $q_i = \min(r_{i1}-w_1, \dots, r_{im}-w_m)$。
• 对于有约束问题，通过 $\bm{p}_1$ 与 $\bm{q}_1^{-}$ 将可行域编码进目标函数，从而可使用相同的特征值方法。
• 当解存在时，变换后的无约束问题与原始有约束问题具有相同的解集。
• 当可行域中不存在精确解时，该方法可通过求解等价的无约束问题，提供近似解。