[论文解读] Algebraic stability and degree growth of monomial maps and polynomial maps

Jan-Li Lin|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文利用 торическая 几何和矩阵动力系统研究了单项式和多项式映射的代数稳定性和度增长。研究证明，当每个分量具有主导单项式项时，$(\mathbb{P}^1)^n$ 上的单项式映射是代数稳定的，并基于关联整数矩阵的谱半径和若尔当代数结构，给出了度序列的精确渐近估计。

ABSTRACT

Given a rational monomial map, we consider the question of finding a toric variety on which it is algebraically stable. We give conditions for when such variety does or does not exist. We also obtain several precise estimates of the degree sequences of monomial maps on $¶^n$. Finally, we characterize polynomial maps which are algebraically stable on $(¶^1)^n$.

研究动机与目标

• 确定单项式映射在 торической 代数簇上存在代数稳定模型的条件。
• 刻画 $(\mathbb{P}^1)^n$ 上多项式映射的代数稳定性。
• 推导 $\mathbb{P}^n$ 和加权射影空间上单项式映射度增长的精确渐近估计。
• 利用除子拉回和谱理论，将 Favre 在 торической 曲面上的结果推广到高维 торическая 代数簇。
• 证明具有主导项的多项式映射的第一动力度是代数整数，从而支持 Bellon 和 Viallet 的猜想。

提出的方法

• 利用 торическая 几何将单项式映射建模为 торическая 代数簇上的等变映射，借助轨道-锥对应关系。
• 应用基于有理映射下除子类拉回的代数稳定性几何准则。
• 通过度矩阵 $\operatorname{Deg}(f)$ 使用矩阵表示度增长，其中 $\deg_i(f_j)$ 记录第 $j$ 个分量关于变量 $z_i$ 的度数。
• 利用与映射相关的整数矩阵 $A$ 的谱半径 $\rho(A)$ 和若尔当代数结构推导渐近度估计。
• 证明 $\deg(f_A^k)$ 的增长满足 $C \cdot k^\ell \cdot \rho(A)^k$，其中 $\ell+1$ 是模最大特征值对应的最大的若尔当代数块的大小。
• 利用条件 $\operatorname{Deg}(fg) = \operatorname{Deg}(g)\cdot\operatorname{Deg}(f)$ 刻画具有主导单项式项的映射，并建立代数稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，单项式映射在 торическая 有理模型上是代数稳定的？
• RQ2 对于 $\mathbb{P}^n$ 上的单项式映射 $f_A$，度序列 $\deg(f_A^k)$ 的精确渐近行为是什么？
• RQ3 在 $(\mathbb{P}^1)^n$ 上的多项式映射在何种情况下是代数稳定的，其第一动力度与度矩阵有何关系？
• RQ4 是否对所有具有主导单项式项的多项式映射，其第一动力度都是代数整数？
• RQ5 单项式映射在加权射影空间上的度增长行为如何？标准度估计能否推广？

主要发现

• 对于 $n \times n$ 整数矩阵 $A$，度序列 $\deg(f_A^k)$ 满足 $C_0 \cdot k^\ell \cdot \rho(A)^k \leq \deg(f_A^k) \leq C_1 \cdot k^\ell \cdot \rho(A)^k$，其中 $\ell+1$ 是对应于模最大特征值的最大的若尔当代数块的大小。
• 若 $A$ 可对角化，且所有模最大的特征值 $\lambda$ 满足 $\lambda/\bar{\lambda}$ 为单位根，则对 $l=0,\dots,p-1$ 有 $\deg(f_A^{pk+l}) = C_l \cdot |\lambda_1|^{pk+l} + O(|\lambda_2|^{pk+l})$，表明度增长呈现周期性振荡。
• $(\mathbb{P}^1)^n$ 上的每个单项式多项式映射都是代数稳定的，因为每个分量都有主导单项式项。
• $(\mathbb{P}^1)^n$ 上的多项式映射 $f$ 是代数稳定的，当且仅当对所有 $k$ 有 $\operatorname{Deg}(f^k) = \operatorname{Deg}(f)^k$，这恰好当且仅当每个分量都有主导单项式项时成立。
• 具有主导单项式项的多项式映射的第一动力度是其度矩阵的谱半径，因此是代数整数，从而在本情况下支持 Bellon-Viallet 猜想。
• 若 $\operatorname{Deg}(fg) = \operatorname{Deg}(g)\cdot\operatorname{Deg}(f)$ 且所有 $\deg_i(g_j) > 0$，则 $f$ 的每个分量都必须有主导单项式项，从而为度增长中矩阵乘法行为提供了必要且充分条件。