[论文解读] Algebraic structure of countably compact non-torsion Abelian groups of size continuum from selective ultrafilters

Matheus Koveroff Bellini, Ana Carolina Boero+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 25被引用 5

一句话总结

该论文利用 𝔠 个选择性超滤子的存在性，对具有连续统大小的非扭阿贝尔群在允许可数紧致群拓扑的条件下进行了分类。研究表明，这类群既存在不含非平凡收敛序列的可数紧致拓扑，也存在含有此类序列的拓扑；在 2𝔠 个选择性超滤子的假设下，对于任意给定的权值 κ ∈ [𝔠, 2𝔠]，存在 2𝔠 个非同胚的此类拓扑。

ABSTRACT

Assuming the existence of $\mathfrak c$ incomparable selective ultrafilters, we classify the non-torsion Abelian groups of cardinality $\mathfrak c$ that admit a countably compact group topology. We show that for each $κ\in [\mathfrak c, 2^\mathfrak c]$ each of these groups has a countably compact group topology of weight $κ$ without non-trivial convergent sequences and another that has convergent sequences. Assuming the existence of $2^\mathfrak c$ selective ultrafilters, there are at least $2^\mathfrak c$ non homeomorphic such topologies in each case and we also show that every Abelian group of cardinality at most $2^\mathfrak c$ is algebraically countably compact. We also show that it is consistent that every Abelian group of cardinality $\mathfrak c$ that admits a countably compact group topology admits a countably compact group topology without non-trivial convergent sequences whose weight has countable cofinality.

研究动机与目标

• 对具有连续统大小且允许可数紧致群拓扑的非扭阿贝尔群进行分类。
• 确定此类拓扑在存在或不存在非平凡收敛序列情况下的存在性与结构。
• 在选择性超滤子假设下，研究此类群上可数紧致群拓扑的非同胚数量。
• 探讨在大小最多为 2𝔠 的阿贝尔群上，代数可数紧致性的逻辑一致性。
• 解决关于 p-紧致性以及在 ZFC 中实现实现可数紧致自由阿贝尔群的问题。

提出的方法

• 利用 ω 上存在 𝔠 个互不等价的选择性超滤子，构造大小为 𝔠 的非扭阿贝尔群上的群拓扑。
• 应用基于选择性超滤子的群拓扑构造技术，特别利用序列的 p-极限。
• 采用 p-极限点与超滤子收敛的概念，确保可数紧致性，同时避免非平凡收敛序列的存在。
• 在 G ⊕ W_ω 上构造拓扑，以将已知模型的性质转移过去，确保权 κ ∈ [𝔠, 2𝔠]，并通过超滤子见证实现非同胚性。
• 利用 2𝔠 个选择性超滤子的存在性，通过选择不在给定空间关联的超滤子族中的超滤子，生成 2𝔠 个非同胚的拓扑。
• 应用先前关于伪紧与可数紧致群拓扑的研究成果，特别是 Dikranjan、Tkachenko 和 Tomita 的工作，以在更强的集合论假设下扩展分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在 𝔠 个选择性超滤子的假设下，哪些大小为 𝔠 的非扭阿贝尔群允许不含非平凡收敛序列的可数紧致群拓扑？
• RQ2 在存在 2𝔠 个选择性超滤子的条件下，是否每个大小不超过 2𝔠 的阿贝尔群都可实现为代数可数紧致？
• RQ3 在给定权值 κ ∈ [𝔠, 2𝔠] 的情况下，此类群上最多可存在多少个非同胚的可数紧致群拓扑？
• RQ4 是否一致地成立：每个具有可数紧致拓扑的大小为 𝔠 的阿贝尔群，也存在一个不含非平凡收敛序列且权具有可数共因子的可数紧致群拓扑？
• RQ5 能否在某个选择性超滤子 p 下，于 ℤ^(𝔠) × ℚ^(𝔠) 上实现一个不含非平凡收敛序列的 p-紧致群拓扑？

主要发现

• 在假设存在 𝔠 个选择性超滤子的前提下，所有大小为 𝔠 的非扭阿贝尔群，若其自由秩为 𝔠，且对所有 d|n 有 dG[n] 有限或大小为 𝔠，则存在一个不含非平凡收敛序列的可数紧致群拓扑。
• 对每个 κ ∈ [𝔠, 2𝔠]，此类群均存在一个权为 κ 且不含非平凡收敛序列的可数紧致群拓扑。
• 在 2𝔠 个选择性超滤子存在的假设下，每个此类群至少存在 2𝔠 个非同胚的可数紧致群拓扑，其中部分含非平凡收敛序列，部分不含。
• 在存在 2𝔠 个选择性超滤子的条件下，所有大小不超过 2𝔠 的阿贝尔群均为代数可数紧致。
• 一致地成立：每个具有可数紧致群拓扑的大小为 𝔠 的阿贝尔群，也存在一个不含非平凡收敛序列的可数紧致群拓扑，其权具有可数共因子。
• 通过选择不在目标空间关联的超滤子族中的超滤子，确保了拓扑之间的非同胚性，从而实现了拓扑的不可数多样性。