[论文解读] Algebraic structures of groups of birational transformations

Jérémy Blanc|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究代数簇的双有理变换群上的代数结构，重点关注参数化双有理映射族的函子的表示性。通过引入平坦性条件，构建了 Bir(X) 上的概形结构，表明尽管完整的 Bir(X) 不是表示的，但平坦子函子在 n ≥ 2 时于 P^n 上给出了一个行为良好的概形结构，尽管乘法不连续，且当 n ≥ 3 时，平坦函子与基于次数的函子不同。

ABSTRACT

A priori, the set of birational transformations of an algebraic variety is just a group. We survey the possible algebraic structures that we may add to it, using in particular parametrised family of birational transformations.

研究动机与目标

• 理解代数簇 X 的双有理变换群 Bir(X) 上可赋予哪些代数结构。
• 分析参数化 A-族双有理变换的函子 Bir_X(A) 的表示性。
• 比较两个关键子函子：Bir_X^flat（平坦族）与 Bir_X^deg（次数有界的族），尤其在 P^n 上。
• 确定平坦族导出的概形结构是否在 Bir(X) 上给出良好行为的拓扑与类似代数群的性质。

提出的方法

• 采用 Demazure 和 Serre 的函子方法，通过基概形 A 上的双有理映射族来定义 A → Bir(X) 的态射。
• 引入子函子 Bir_X^flat(A)，其包含在 A 上平坦的族，该函子由概形表示。
• 应用图构造来分析双有理映射及其平坦性，尤其针对 P^n 上的映射。
• 使用显式例子（如 P^2 和 A^n 上的仿射族）来展示完整 Bir_X 函子的无界性与不可表示性。
• 通过 Hilbert 多项式与次数行为比较 Bir_X^flat 与 Bir_X^deg，尤其在 P^n 上。
• 利用 Segre 嵌入计算 P^8 中双有理映射图的 Hilbert 多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过族的表示函子，将双有理变换群 Bir(X) 赋予概形结构？
• RQ2 平坦族的子函子 Bir_X^flat 是否可表示，且是否在 Bir(P^n) 上给出良好行为的概形结构？
• RQ3 在 P^n 上，平坦函子与基于次数的函子 Bir_X^flat 与 Bir_X^deg 如何比较，尤其当 n ≥ 3 时？
• RQ4 在平坦概形结构下，Bir(P^n) 上的乘法映射是否连续，甚至是否为态射？
• RQ5 平坦性条件是否对应于在连通分支上具有固定多重次数的族？

主要发现

• 即使对于 X = P^2，完整函子 Bir_X 也无法由概形或 ind-概形表示，原因在于双有理映射族的无界性。
• 平坦族的子函子 Bir_X^flat 可由概形表示，为任意 X 上的 Bir(X) 提供了明确定义的概形结构。
• 对于 n ≥ 2 的 P^n，次数为 d 的映射集合 Bir(P^n)_d 在平坦概形结构中是开集。
• 乘法映射在 Bir(P^n) 上关于平坦概形拓扑不连续，这由一个态射 ν' 的像在次数上跳跃所证明。
• 当 n ≥ 3 时，Bir_X^flat 与 Bir_X^deg 不相等，这通过一族映射得到证明：尽管映射本身次数恒定，其逆映射的次数却非恒定。
• 在 P^2 上，猜想 Bir_X^flat = Bir_X^deg，原因在于图的 Hilbert 多项式仅依赖于次数 d。