[论文解读] Algebraic structures on generalized strings

Vladimir Chernov, Yuli B. Rudyak|ArXiv.org|Jun 8, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文在与映射到目标流形 $M$ 的 '花环'—即带有标记点的流形—相关的 bordism 群 $Ω_*(\mathcal{N})$ 上构造了自然的分次交换代数和分次李代数结构。它进一步定义了运算 $\bullet$ 和 $[-,-]$，并引入了自同构 $\operatorname{proj}$ 和 $\operatorname{lift}$，使得 $\operatorname{proj}(\operatorname{lift}\alpha_1 \bullet \operatorname{lift}\alpha_2) = [\alpha_1, \alpha_2]$，在特定条件下由此导出 Batalin–Vilkovyski 和 Gerstenhaber 代数结构，且当 $P = S^1$ 时与 Chas–Sullivan 字符串拓扑存在直接类比。其主要贡献在于提出了一套几何的、基于 bordism 的框架，统一并推广了字符串拓扑运算。

ABSTRACT

A garland based on a manifold $P$ is a finite set of manifolds homeomorphic to $P$ with some of them glued together at marked points. Fix a manifold $M$ and consider a space $\NN$ of all smooth mappings of garlands based on $P$ into $M$. We construct operations $\bullet$ and $[-,-]$ on the bordism groups $\bor_*(\NN)$ that give $\bor_*(\NN)$ the natural graded commutative assosiative and graded Lie algebra structures. We also construct two auto-homomorphisms $\pr$ and $\li$ of $\bor_*(\NN)$ such that $\pr(\li α_1\bullet \li α_2)= [α_1, α_2]$ for all $α_1, α_2 \in \bor_*(\NN)$. If $P$ is a boundary, then $\pr \circ \li=0$ and thus $Δ^2=0$ for $Δ=\li \circ \pr$. We show that under certain conditions the operations $Δ$ and $\bullet$ give rise to Batalin-Vilkoviski and Gerstenhaber algebra structures on $\bor_*(\NN)$. In a particular case when $P=S^1$, the algebra $\bor_*(\NN)$ is related to the string-homology algebra constructed by Chas and Sullivan.

研究动机与目标

• 在从 '花环'—即带有标记点的流形—到目标流形 $M$ 的映射的 bordism 群 $\Omega_*(\mathcal{N})$ 上定义代数运算 $\bullet$ 和 $[-,-]$。
• 构造自同构 $\operatorname{proj}$ 和 $\operatorname{lift}$，使得 $\operatorname{proj}(\operatorname{lift}\alpha_1 \bullet \operatorname{lift}\alpha_2) = [\alpha_1, \alpha_2]$，从而在运算之间建立结构联系。
• 证明在适当条件下，复合映射 $\Delta = \operatorname{lift} \circ \operatorname{proj}$ 满足 $\Delta^2 = 0$，从而在 $\Omega_*(\mathcal{N})$ 上构造出 Batalin–Vilkovyski 和 Gerstenhaber 代数结构。
• 当基流形 $P = S^1$ 时，建立所提框架与 Chas–Sullivan 字符串拓扑之间直接的几何与代数类比。

提出的方法

• 空间 $\mathcal{N}$ 定义为从固定流形 $P$ 的不相交复制并集到 $M$ 的多标记光滑映射空间的不相交并集，再模去置换对称性。
• 通过代表元上的拉回和横截性论证，在标记映射和标记点处的粘合数据基础上构造运算 $\bullet$ 和 $[-,-]$。
• $\operatorname{proj}$ 和 $\operatorname{lift}$ 被定义为 $\Omega_*(\mathcal{N})$ 上的自然变换，其中 $\operatorname{lift}$ 编码了将 bordism 类提升到更高维结构的过程，而 $\operatorname{proj}$ 则负责投影回原空间。
• 利用横截性和标记流形的结构，证明关键恒等式 $\operatorname{proj}(\operatorname{lift}\alpha_1 \bullet \operatorname{lift}\alpha_2) = [\alpha_1, \alpha_2]$。
• 分析 $\Delta = \operatorname{lift} \circ \operatorname{proj}$ 满足 $\Delta^2 = 0$ 的条件，特别是当 $P$ 是边界时，由此出现 Batalin–Vilkovyski 和 Gerstenhaber 代数结构。
• 通过证明当 $P = S^1$ 时，$\Omega_*(\mathcal{N})$ 上的运算与 $H_*(LM)$ 上的字符串拓扑运算镜像对应，将该框架与 Chas–Sullivan 字符串拓扑进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在映射到流形 $M$ 的花环映射的 bordism 群上自然地定义分次交换代数和分次李代数结构？
• RQ2 运算 $\bullet$ 和 $[-,-]$ 在 $\Omega_*(\mathcal{N})$ 上如何通过自同构 $\operatorname{proj}$ 和 $\operatorname{lift}$ 相关联？
• RQ3 在何种条件下，复合映射 $\Delta = \operatorname{lift} \circ \operatorname{proj}$ 满足 $\Delta^2 = 0$，从而能够构造 Batalin–Vilkovyski 代数？
• RQ4 是否存在一个几何与代数框架，能够利用 bordism 理论和标记流形，将 Chas–Sullivan 字符串拓扑推广到 $P = S^1$ 之外的情形？

主要发现

• bordism 群 $\Omega_*(\mathcal{N})$ 装备了一个分次交换且结合的运算 $\bullet$，其度数为 $-m$，其中 $m = \dim M$，使得 $\Omega_*(\mathcal{N})$ 成为一个分次交换代数。
• 运算 $[-,-]$ 使 $\Omega_*(\mathcal{N})$ 具备分次李代数结构，其括号度数为 $+2$。
• 对所有 $\alpha_1, \alpha_2 \in \Omega_*(\mathcal{N})$，恒等式 $\operatorname{proj}(\operatorname{lift}\alpha_1 \bullet \operatorname{lift}\alpha_2) = [\alpha_1, \alpha_2]$ 成立，从而在两个运算之间建立了精确的代数联系。
• 当 $P$ 是边界时，有 $\operatorname{proj} \circ \operatorname{lift} = 0$，因此对 $\Delta = \operatorname{lift} \circ \operatorname{proj}$ 有 $\Delta^2 = 0$，满足 Batalin–Vilkovyski 代数的关键条件。
• 在 $\Delta^2 = 0$ 的条件下，运算 $\bullet$ 和 $\Delta$ 使 $\Omega_*(\mathcal{N})$ 具备度数为 $n = 2$ 的 Batalin–Vilkovyski 代数结构，且诱导的括号 $\{a,b\}$ 满足 Gerstenhaber 代数公理。
• 当 $P = S^1$ 时，$\Omega_*(\mathcal{N})$ 上的代数结构与 Chas–Sullivan 字符串拓扑中的结构同构，从而为他们的构造提供了一个基于 bordism 的推广。