[论文解读] Algebraic twists of $\mathrm{GL}_3 imes \mathrm{GL}_2$ $L$-functions

Yongxiao Lin, Philippe Michel+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文通过证明 GL₃ × GL₂ Rankin–Selberg L 函数的系数与其模素数的 'good' 她层的特征函数之间不存在相关性，建立了该类 L 函数的次凸界。利用先进的层论方法与指数和估计，作者在 $X \approx q^3$ 的条件下，获得了形式为 $\ll Z q^{3 - 1/16 + o(1)}$ 的非平凡次凸界，将此前针对狄利克雷特征和 Kloosterman 和的结果推广至一类广泛的代数扭。

ABSTRACT

We prove that the coefficients of a $\mathrm{GL}_3 imes \mathrm{GL}_2$ Rankin--Selberg $L$-function do not correlate with a wide class of trace functions of small conductor modulo primes, generalizing the corresponding result \cite{FKM1} for~$\mathrm{GL}_2$ and \cite{KLMS} for $\mathrm{GL}_3$. This result is inspired by a recent work of P. Sharma who discussed the case of a Dirichlet character of prime modulus.

研究动机与目标

• 将 GL₃ × GL₂ L 函数的次凸性结果从狄利克雷特征推广至通过她层特征函数定义的广泛代数扭类别。
• 建立 GL₃ × GL₂ 自守系数与模素数的 'good' 她层特征函数之间的非相关性。
• 在 $q$-方面将凸性界 $q^{3/2+o(1)}$ 改进为 $q^{3 - 1/16 + o(1)}$，适用于此类扭。
• 将次凸性框架扩展至满足一般单缘性和斜率条件的她层，包括超 Kloosterman 她层与对称幂她层。
• 为算术级数中系数的分布水平及含加法扭的指数和提供应用。

提出的方法

• 使用近似函数方程，将次凸性问题转化为有权和 $S_V^t(K, X) = \sum_{r,n} \lambda(r,n)\lambda_f(n) K(nr^2) V(nr^2/X)$ 的有界性问题。
• 应用层论框架：$K$ 是 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_q}$ 上 'good' 她层 $\mathcal{F}$ 的特征函数，满足 (MO)、(SL)，且为傅里叶型。
• 应用梅林变换与 $L(\phi \times f \times K, s)$ 的函数方程，将其与 GL₆ 变换 $K^\vee_6$ 关联。
• 利用 $\ell$-进傅里叶变换与 $\ell$-进层理论，通过她层 $\mathcal{F}$ 及其单缘性性质分析该和。
• 应用德利涅界与拉马努金–彼得森猜想（取 $\theta_3 = 5/14$）控制单个指数和。
• 应用 $\mathrm{GL}_6$-扭与 $\mathrm{GL}_3$-扭技术，通过 $\ell$-进上同调与格罗滕迪克–莱夫谢茨迹公式处理该和。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 GL₃ × GL₂ $L$-函数建立超越狄利克雷特征的代数扭的次凸界？
• RQ2 何种 $\ell$-进她层条件可确保其特征函数与 GL₃ × GL₂ 自守系数之间无相关性？
• RQ3 她层的单缘性与斜率结构如何影响扭 $L$-函数中的抵消效应？
• RQ4 能否通过代数扭将算术级数中系数 $\lambda_F(m)$ 的分布水平提升至 $\vartheta = 2/7$ 以上？
• RQ5 在何种 $X$ 范围内，和 $\sum \lambda(r,n)\lambda_f(n) K(nr^2) V(nr^2/X)$ 中会出现非平凡抵消？

主要发现

• 作者证明了当 $K$ 是 'good' 她层的特征函数时，对 $X \approx q^3$，有非平凡次凸界 $S_V^t(K, X) \ll Z q^{3 - 1/16 + o(1)}$。
• 只要 $X \gg q^{3 - 1/4 + \eta}$（$\eta > 0$），该界即为非平凡，表明和中存在抵消。
• 当 $X = q^3$ 时，该界将凸性界 $q^{3/2+o(1)}$ 改进为 $q^{3 - 1/16 + o(1)}$，与狄利克雷特征的最优已知次凸界一致。
• 该结果适用于超 Kloosterman 她层 $K\ell_k$（$k \geq 3$），其为 'good' 她层（除非 $k=2$），以及对称幂她层 $\mathrm{Sym}^k \circ [\times\lambda]^* K\ell_2$。
• 对于加法扭 $K(n) = e(an/q)$，该方法可得 $S_V^t(K, X) \ll q^{3 - 1/16 + o(1)}$，当 $X \gg q^{3 - 1/16 + \delta}$ 时成立，扩展了先前方法的适用范围。
• 算术级数中系数 $\lambda_F(m)$ 的分布水平被提升至 $\vartheta_6 = 2/7$，通过非平凡短和的界，未来或可进一步改进。