[论文解读] Algebraic Type Theory and Universe Hierarchies

Jonathan Sterling|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2019

Logic, programming, and type systems参考文献 25被引用 13

一句话总结

本文提出了马丁-克鲁斯类型理论（Martin-Löf Type Theory）带有罗素型宇宙（universes `a la Russell`）的纯代数形式化，证明此类宇宙可在无需类型编码或展开的情况下被代数建模。通过计算性模型与初始代数语义，本文展示了带有依赖函数、宇宙和两元素基类型的核心类型理论的典范性（canonicity）。

ABSTRACT

It is commonly believed that algebraic notions of type theory support only universes à la Tarski, and that universes à la Russell must be removed by elaboration. We clarify the state of affairs, recalling the details of Cartmell's discipline of _generalized algebraic theory_, showing how to formulate an algebraic version of Coquand's cumulative cwfs with universes à la Russell. To demonstrate the power of algebraic techniques, we sketch a purely algebraic proof of canonicity for Martin-Löf Type Theory with universes, dependent function types, and a base type with two constants.

研究动机与目标

• 澄清一种误解，即代数类型理论仅能建模 `a la Tarski` 型宇宙，证明 `a la Russell` 型宇宙同样可被代数定义。
• 发展一种简化、现代的广义代数理论（GATs）表述，正确安排良好形成性与等式判断的层级。
• 证明带有依赖函数、宇宙和基类型的类型理论核心系统，其典范性可被完全代数化地证明。
• 表明基于初始代数的计算性模型构造，能够支持 `a la Russell` 型宇宙的解释，并促成典范性证明。
• 确立从计算性模型到基础类型理论的投影映射保持等式与项结构，从而支持典范值的提取。

提出的方法

• 形式化一种现代化、分阶段的广义代数理论（GATs）表述，包含预设条件，以简化良好形成性检查。
• 将计算性模型定义为上下文范畴上的胶合构造，其中每个项均以实现实体（证明项）在宇宙层级中的形式被解释。
• 在范畴论语境下，使用初始代数解释上下文、代换和类型构造器（包括依赖函数类型与宇宙）。
• 将 `a la Russell` 型宇宙的解释定义为以大小为索引的逻辑家族族，其真实体位于累积层级 Vα 中。
• 利用模型 C 的初始性，确保任何类型为 El(· ⊢ color) 的闭项 M 必等于 red 或 green。
• 应用从计算性模型到基础类型理论的投影函子 π，该函子遗忘实现实体但保持等式与项结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在广义代数类型理论中，无需类型编码或展开，代数化地建模 `a la Russell` 型宇宙？
• RQ2 是否能仅使用代数与范畴论方法，证明带有依赖函数类型、`a la Russell` 型宇宙和具有两个常量的基类型的类型理论的典范性？
• RQ3 如何调整计算性模型，以代数方式解释 `a la Russell` 型宇宙，同时保持证明无关性与累积性？
• RQ4 初始性在确保闭项的基类型项约化为典范值方面起到何种作用？
• RQ5 能否证明从计算性模型到标准类型理论的投影保持等式与项结构？

主要发现

• `a la Russell` 型宇宙可在广义代数类型理论中被代数解释，通过将它们建模为以大小为索引的逻辑家族族，其真实体位于累积层级 Vα 中。
• 计算性模型构造为带有依赖函数、宇宙和两元素基类型的马丁-克鲁斯类型理论提供了完全代数化的典范性证明。
• 类型理论 TΠ_cwf 的初始模型 C 确保任何类型为 El(· ⊢ color) 的闭项 M 必等于 red 或 green，该结论通过投影 π 与初始性的普遍性质得出。
• 从计算性模型到标准类型理论的投影函子 π 是 TΠ_cwf-代数之间的同态，保持等式与项结构。
• 类型提升的解释是良定义的，并尊重累积层级，确保 ⇑βαA 与 A 拥有相同的元素。
• 依赖函数类型的解释由闭上下文及其真实体所索引的一族函数给出，明确处理了应用与抽象。